Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Resolução:

$g'(x) = f(x + 1 + \sin 2x) + x (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x)$

$\fbox{$\displaylines{g''(x) =& (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + (1 + 2\cos 2x - 4x\sin 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + \\ &+ x (1 + 2\cos 2x)^2 f''(x + 1 + \sin 2x)}$}$

$g''(0) = 3f'(1) + 3f'(1) = \fbox{$-12$}$