$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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segunda-feira, 14 de novembro de 2022

Exercício: reajustando preço de um componente afim de manter preço de custo.

Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são os sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com $2/3$ de polpa de morango e $1/3$ de polpa de acerola.

 

Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa $R\$\ 18,00$ e a de acerola, $R\$\ 14,70$. Porém, está prevista uma alta no preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, passando a custar $R\$\ 15,30$.

 

Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de morango.

 

De quanto foi a redução no preço da embalagem da polpa de morango?


Resolução:


Para preparar uma certa quantidade de sucos, serão utilizadas $\dfrac{2}{3}$ da embalagem de morango e $\dfrac{1}{3}$ da embalagem de acerola, logo o preço de custo será $\dfrac{2}{3} \cdot 18 + \dfrac{1}{3} \cdot 14,7 = 16,9$.

 

Este preço de custo deverá se manter para os novos reajustes, logo $16,9 = \dfrac{2}{3} \cdot x + \dfrac{1}{3} \cdot 15,3\ \Rightarrow\ x = 17,7$, sendo $x$ o novo preço da embalagem de morango.


Logo a redução será de $\fbox{$R\$\ 0,30$}$.

quarta-feira, 13 de abril de 2022

Calculadora: valor em cédulas e moedas.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", sendo a primeira parte o valor monetário, e a segunda uma parte separada por vírgulas "," com as cédulas e moedas existentes.

Exemplo: entre com "150; 50, 25"



Valor em cédulas e moedas:

domingo, 27 de março de 2022

Calculadora: conversão entre moedas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro, a quantia; segundo, o código ISO de qual moeda converter; e, terceiro, o código ISO da moeda da qual se deseja conhecer a conversão.

Exemplo: entre com "1; USD; BRL".




Conversão:


Conversão rápida entre moedas populares:



quinta-feira, 13 de janeiro de 2022

segunda-feira, 8 de novembro de 2021

Calculadora: parcelas constantes com juros embutidos.

Entre com uma string separada com pontos e vírgula ";" contendo, primeiro, o valor da mercadoria / serviço; segundo: o valor de entrada; terceiro, o número de parcelas; e quarto, a taxa de juros.

Exemplo:

Input: "2000; 100; 8; 0.1". Output: aproximadamente 356.14.




Valor de cada parcela:

quinta-feira, 13 de dezembro de 2012

Exercício: aplicação financeira.

(Fuvest-SP) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.

a) Qual a taxa mensal de juros?

b) Em quantos meses a aplicação renderá $700\%$ de juros?

Resolução :

Chamemos de $C$ o capital inicial.

a)

$2C\ =\ C(1 + i)^2$

$2\ =\ i^2 + 2i + 1$

Como $i$ deve ser positivo:

$i\ =\ \sqrt{2} - 1\ \approx\ 41\ \%$
__

b)

$8C\ =\ C(1 + \sqrt{2} - 1)^t$

$2^3\ =\ 2^\dfrac{t}{2}$

$t\ =\ 6$ meses.

Exercício: comprar mais pelo mesmo preço.

(Cesgranrio-RJ) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: "Compre $x$ balas e ganhe $x\%$ de desconto". A promoção é válida para compras de até $60$ balas, caso em que é concedido o desconto máximo de $60\%$. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram $10$, $15$, $30$ e $45$ balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

Resolução :

Alfredo comprou o equivalente a $10(1 - \dfrac{10}{100})\ =\ 9$ balas.

Beatriz comprou o equivalente a $15(1 - \dfrac{15}{100})\ =\ 12,75$ balas.

Carlos comprou o equivalente a $30(1 - \dfrac{30}{100})\ =\ 21$ balas.

Daniel comprou o equivalente a $45(1 - \dfrac{45}{100})\ =\ 24,75$ balas.

A função que retorna o quanto cada um irá pagar, dado o número de balas que comprou, é:

$f(x)\ =\ x(1 - \dfrac{x}{100})\ =\ -\dfrac{x^2}{100} + x$

Essa função terá um máximo, onde o número de balas para este máximo é tal que:

$x_v\ =\ -\dfrac{1}{(-\dfrac{2}{100})}\ =\ 50$ balas.

Como todos os compradores compraram menos que $50$ balas, cada um, segundo a função poderia comprar uma maior quantidade tal que pagaria o mesmo preço por ela. Porém a diferença entre entre o $x_v$ e o número de balas compradas não pode superar $ 60 - 50\ =\ 10$. Portanto apenas Daniel poderia comprar mais balas, a saber $50 + (50 - 45)\ =\ 55$ balas, de tal forma que pagaria o equivalente à $ 24,75$ balas.

sábado, 8 de dezembro de 2012

Exercício: diferentes conversões de moeda e diferença entre preços.

(Cesgranrio-RJ) Em 6 de setembro de 1994, os jornais noticiavam que uma grande empresa havia convertido seus preços para reais usando $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.400,00$ e não $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.750,00$. Ao fazer isso, nessa empresa, ou preços subiram ou baixaram, em que percentual?

Resolução:

Consideremos uma mercadoria que custava $Cr\$ 1,00$. Esta mercadoria convertida pela tabela-padrão passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2750}$, enquanto em tal empresa, passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2400}$. Como $\dfrac{1}{2400}\ >\ \dfrac{1}{2750}$ os preços em tal empresa subiram.

Calculando o percentual $p$ de aumento:

$\dfrac{1}{2400}\ =\ (1 + p)\ \cdot\ \dfrac{1}{2750}$

$p\ =\ \dfrac{275}{240} - 1\ \approx\ 14,6\ \%$

Exercício: leve 3 e pague 2.

(Vunesp-SP) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida em que percentual?

Resolução:

Chamemos de $P$ o preço unitário de uma mercadoria e $d$ o desconto equivalente.

$2P\ =\ (1 - d)\ \cdot\ 3P$

$d\ =\ 1 - \dfrac{2}{3}$

$d\ =\ \dfrac{1}{3}\ =\ \dfrac{100}{3}\ \%$

Exercício: desconto ilusório.

(FGV-SP) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, $X$, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de $10\%$ para $10000\ \le\ X\ <\ 20000$.
2) Desconto de $15\%$ para $X\ \ge\ 20000$.

Um cliente compra um par de sapatos por $Cr\$\ 18.000,00$ e um par de meias por $Cr\$\ 2.000,00$. O vendedor muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das meias para $Cr\$\ 1.500,00$ e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, qual foi o lucro ou o prejuízo do cliente?

Resolução:

Mantendo-se o preço do par de meias em $Cr\$\ 2.000,00$, o valor total da compra seria de $2000 + 18000\ =\ 20000$, tendo direito sobre um desconto total de $15\%$, pagando no total:

$20000\ \cdot\ (1 - 15\%)\ =\ 20000 - 3000\ =\ Cr\$ 17.000,00$

Mas, com primeiro desconto oferecido pelo vendedor, o valor integral da compra será de $1500 + 18000\ =\ 19500$, tendo direito a um desconto de $10\%$, pagando no total:

$19500\ \cdot\ (1 - 10\%)\ =\ 19500 - 1950\ =\ Cr\$\ 17.550,00$

Logo o cliente na verdade terá um prejuízo de $17550 - 17000\ =\ Cr\$\ 550,00$.

Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.

(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.

$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$

$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]

Substituindo [1] em [2]:

$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ =\ 4800$

Logo:

$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$

Donde:

$P_v + P_c\ =\ 12600$

sexta-feira, 7 de dezembro de 2012

Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.

(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$

$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$

$d\ \le\ \frac{1}{5}$

Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.

Exercício: cálculo de parcela de débito.

(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:

Janeiro->$R\$\ 1.000,00$
Março->$R\$\ 1.210,00$
Abril->$R\$\ 1.331,00$


Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?

Resolução:

Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:

$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$

$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$

$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$

Assim:

$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$

Observemos que:

$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$

Exatamente a parcela de abril.

Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.

(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?

Resolução:

Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.

$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$

$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $

$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$


Donde:

$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$

$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$

terça-feira, 4 de dezembro de 2012

Exercício: inflação e perda do poder de compra.

Numa inflação em que os preços sobem $25\%$ ao mês e seu salário permanece inalterado, de quanto diminui o seu poder de compra:

a) Mensalmente?

b) Bimestralmente?

Resolução 1:

a)

Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.

Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:

$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$

A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:

$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:

$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$

$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

_____

Resolução 2:

a)

Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:

$S\ =\ np$.....[1]

Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:

$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.

Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:

$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo:

$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

Exercício: juros ocultos.

(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

Resolução:

Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.

Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.

domingo, 24 de junho de 2012

Uma identidade financeira.

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$

Estava a estudar juros compostos e li que trata-se da mesma teoria dos juros simples, mas cujo capital sobre o qual incide a taxa é atualizado a cada unidade de tempo, de forma cumulativa, de tal forma que li no livro:

Na primeira unidade de tempo teremos:

$M_1\ =\ C\ +\ iC\ =\ C(1\ +\ i)$

Na segunda unidade de tempo teremos:

$M_2\ =\ C(1\ +\ i)\ + iC(1\ +\ i)\ =\ C(1\ +\ i)^2$

Na terceira unidade de tempo teremos:

$M_3\ =\ C(1\ +\ i)^2\ + iC(1\ +\ i)^2\ =\ C(1\ +\ i)^3$

Estimando que decorridos $t$ unidades de tempo teremos: $M_t\ =\ C(1\ +\ i)^t$, Onde $i$ é a taxa de juros na unidade de tempo adotada.

Para $t\ =\ 2$ é fácil vermos que teremos um quadrado perfeito no desenvolvimento de $M_2$. Mas para $t\ >\ 2$ já achei o raciocínio demais complexo.

Quis então verificar a validade da sentença:

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$.
____________________

Demonstração:

Por indução:

Para $n\ =\ 1$:

$1\ +\ x\ +\ x\ +\ x^2\ =\ (1\ +\ x)^2$

Supondo verdadeira a sentença:

$(1\ +\ x)^p\ +\ x(1\ +\ x)^p\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 1}$

Multiplicando ambos os membros por $1\ +\ x$:

$(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ +\ x(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 2}$

Concluímos assim que a sentença é verdadeira para todo $n \geq\ 1$.

Inflação brasileira nos anos 80.

Em 2010 a inflação brasileira foi de $5,91 \%$. Tempos de paz considerando seu passado tenebroso.

Houve um período na década de 80 em que a taxa de inflação era de $25\%$ ao mês.

Vamos calcular o quanto era ao ano.

Consideremos que $i_{am}$ seja aplicada sobre um capital $C$ e gere um montante $M$ em 1 ano:

$M\ =\ C(1\ +\ \dfrac{25}{100})^{12}$

$M\ \approx\ C\ \cdot\ 14,55$

O mesmo montante será gerado por uma taxa anual incidida sobre o mesmo capital. Logo:

$C\ \cdot\ 14,55\ \approx\ C\ \cdot\ (1\ +\ i_{aa})^1$

$i_{aa}\ \approx\ 13,55$

$i_{aa}\ \approx\ 1355\ \%$

Uma taxa aproximadamente $\dfrac{1355}{5,91}\ \approx\ 22927\ \%$ maior que a de 2010.