Calculadora: gráfico simétrico de uma função com relação a um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos simétricos, devem ser funções em $x$; segundo: a abscissa do ponto de referência; terceiro: a ordenada do ponto de referência; quarto: "0" para não mostrar o gráfico origem ou "1" para mostrar; quinto: um número real como valor inferior; sexto: um número real como valor superior; sétimo: a abscissa do centro de expansão radial; oitavo: a ordenada do centro de expansão radial; nono: o raio de expansão radial; décimo: a rotação do eixo $Ox$; décimo primeiro: a rotação do eixo $Oy$; décimo segundo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: intersecções entre duas circunferências.

Entre com uma string contendo separadas por barra vertical "|", as circunferências consistindo da abscissa de seu centro, a ordenada de seu centro, e o seu raio, separados por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input: "0; 0; 1 | 3; 0; 2".

Output: "1, 0".




Intersecções entre as circunferências:

Meme: Matemática sagrada.

 

Sejam $U$ e $W$ subespaços de dimensões finitas de um espaço vetorial $V$, mostre que $dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$.

Sejam $\{u_1, \dots , u_m\}$ uma base de $U$ e $\{w_1, \dots , w_n\}$ uma base de $W$, $\{u_1,\dots , u_m, w_1,\dots ,w_n\}$ gera $U + W$.

Seja $\{u_{i_1}, \dots , u_{i_p}, w_{j_1}, \dots , w_{j_q}\}$ um subconjunto independente maximal de $U + W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U + W)\ =\ p + q$

e, além disto,

$\{u_{i_{p+1}}, \dots , u_{i_m}, w_{j_{q+1}}, w_{j_n}\}$ é uma base de $U \cap W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U \cap W) = m - p + n - q$.

Como $p + q = m + n - (m - p + n - q)$,

 

$\fbox{$dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: intersecções entre uma reta e uma circunferência.

Entre com uma string contendo separadas por barra vertical "|", a reta na forma $ax + by + c = 0$ com coeficientes $a$, $b$ e $c$ separados por ponto e vírgula ";" e a circunferência consistindo da abscissa de seu centro, a ordenada de seu centro, e o seu raio, separados por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input:

"tg(2); fatorial(3); 3 | -log(10, 2); 2; 4".

Output:

"
-4.659751425365828, -4.696957102885669

-1.52247163510813, -3.554443535566035
".




Intersecções entre a reta e a circunferência:

Calculadora: intersecção entre duas retas.

Entre com, separadas por barra vertical "|", as retas na forma $ax + by + c = 0$ com coeficientes $a$, $b$ e $c$ separados por ponto e vírgula ";".

Exemplos:

Input: "1; 1; 0 | -1; 1; 3". Output: "3 / 2, -3 / 2".

Input: "pi; euler; 4 | 5; log(10, 2); 1". Output: "3.34977667, -5.342946278".




Intersecção das retas:

Calculadora: área da projeção de um triângulo em um plano.

Área da projeção de um triângulo em um plano. Argumentos: primeiro global: separado por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os vértices do triângulo com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$, do plano $ax + by + cz + d = 0$; segundo global: 0 para retornar string, ou 1 para retornar valor.

Exemplo:

Input: "2; pi; 1 | 2; 1; cos(3) | 2; 0; 0 || 3; 4; 5; log(3, 2)". Output: aproximadamente "0.8718951502761744".




Área do triângulo projetado:

Calculadora: área de um triângulo no espaço.

Entre com uma string separada por barra vertical "|" contendo os vértices do triângulo com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input: "2; 0; 1 | 2; 1; 0 | 2; 0; 0". Output: aproximadamente "1 / 2".




Área do triângulo:

Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em um plano.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os pontos extremos do segmento com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$, do plano $ax + by + cz + d = 0$.

Exemplo:

Input: "1; 2; 3 | 3; 2; 3 || 0; 0; 1; 5". Output: "2".




Comprimento da projeção do segmento no plano:

Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em uma reta.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os pontos extremos do segmento com abscissas separadas das ordenadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$ e $c$, da reta $ax + by + c = 0$.

Exemplo:

Input: "1; 2 | 3; 2 || 0; 1; 5". Output: "2".




Comprimento da projeção do segmento na reta:

Calculadora: ângulo entre dois vetores.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: uma string separada por barra vertical "|" onde cada elemento é um ponto onde as coordenadas são separadas por ponto e vírgula ";"; segundo "r" para radianos ou "g" para graus.

Exemplos:

Input: "0; 1 | 1; 0 || g". Output: aproximadamente "90".

Input: "0; pi; euler | cos(2); 3; log(5, 2) || r". Output: aproximadamente "0.12210119420839927".




Ângulo entre os dois vetores:

Calculadora: ponto simétrico com relação a um plano.

Entre com os argumentos, separados por barra vertical "|": primeiro: o ponto com abscissa, ordenada e cota separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$ do plano $ax + by + cz + d = 0$, separados por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "1; 3; 4 | -1; 1; 2; 5". Output: "6, -2, -6".




Ponto simétrico com relação ao plano:

Calculadora: projeção de um ponto em um plano.

Entre com os argumentos, separados por barra vertical "|": primeiro: o ponto com abscissa, ordenada e cota separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$ do plano $ax + by + cz + d = 0$, separados por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "1; 3; 4 | -1; 1; 2; 5". Output: "7 / 2, 1 / 2, -1".




Projeção do ponto no plano:

Calculadora: projeção de um ponto em uma reta.

Entre com os argumentos, separados por barra vertical "|": primeiro: o ponto com abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";"; segundo: os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da reta $ax + by + c = 0$, separados por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "1; 3 | -1; 1; 0". Output: "2, 2".




Projeção do ponto na reta:

Calculadora: menor bola que contém os pontos dados.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os pontos; as abscissas, ordenadas e cotas separadas por vírgula ",".




Inequação cartesiana da menor bola que contém os pontos dados:

A inequação aparecerá aqui...

Calculadora: menor círculo que contém os pontos dados.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os pontos; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".




Inequação cartesiana do menor círculo que contém os pontos dados:

A inequação aparecerá aqui...

Permutações circulares.

Sejam $n$ objetos distintos dispostos ao redor de um círculo, de quantas formas distintas podemos os organizar ao redor do círculo?

Numerando de $1$ a $n$ as posições, teremos $n!$ formas de dispor os objetos; no entanto, como estão ao redor de um círculo podemos ter "shifts" de modo que a disposição circular será mantida, podemos ter $n$ "shifts".

Ou seja, teremos $\dfrac{n!}{n} = \fbox{$(n - 1)!$}$ disposições circulares distintas.

Mostre que duas matrizes equivalentes por linhas tem o mesmo espaço de linhas.

Seja $L$ tal espaço de linhas. Se $\displaystyle\sum a_iA_i\ \in\ L$:

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + a_jA_j + a_{j-1}A_{j-1} + \dots\ \in\ L$ ${\large (I)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + ba_jA_j + \dots\ \in\ L$ ${\large (II)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + \left(ba_jA_j + a_kA_k\right) + \dots\ \in\ L$ ${\large (III)}$.

Ou seja, se duas matrizes são obtidas uma da outra por combinações das operações elementares, a saber, ${\large (I)}$, permutação, ${\large (II)}$, multiplicação por escalar, e ${\large (III)}$, substituição de uma linha por a soma desta com um múltiplo de uma outra, tem o mesmo espaço de linhas.

Quod Erat Demonstrandum.

Mostre que, se removermos uma linha de uma matriz escalonada, ela continuará escalonada.

Sejam $a_{1j_1}, a_{2j_2}, \dots, a_{nj_n}$ os elementos distinguidos da matriz escalonada, logo $j_1 < j_2 < \dots < j_n$.

Retirando o elemento da $i$-ésima linha, teremos uma nova matriz cujos elementos distinguidos são

$a_{1j_1}, \dots, a_{(i-1)j_{i-1}}, a_{(i+1)j_{i+1}}, \dots, a_{nj_n}$

de modo que

$j_1 < \dots < j_{i-1} < j_{i+1} < \dots < j_n$.

Logo a nova matriz também será escalonada.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $F$ o espaço vetorial de todas as funções reais, $P$ o subespaço vetorial das funções pares, e $I$ o subespaço das funções ímpares, mostrar que $F = P \oplus I$.

Seja $i$ um elemento de $I$, existe um elemento de $f$ de $F$ tal que $f - p = i$, $p$ um elemento de $P$.

$p(x) = p(-x)\ \Rightarrow\ f(x) - f(-x) = i(x) - i(-x)$

Como $f(x) - f(-x)$ existe, $i(x)$ existe. Como $f$ é função de $i$, $i$ é único.

 

Quod Erat Demonstrandum.

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1}$.

Afim de decompor $\dfrac{1}{x^5 + 1}$ em frações parciais, calculemos as raízes quintas de $-1$, que estão graficamente representadas abaixo:

Logo $\dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{Cx + D}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{E}{x + 1}$. ${\large (I)}$

Donde, resolvendo o sistema:

${\tiny \begin{cases}B + D + E = 1\\ \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[10 - 6\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[10 - 6\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\end{cases}}$,

obtemos:

${\tiny \begin{cases}A = \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ B = -\dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ C = -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ D = \dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ E = -\dfrac{3}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30}\end{cases}}$. ${\large (II)}$

De ${\large (I)}$ obtemos:

${\tiny \dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{A}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{B + A\cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{C}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{3\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{D + C\cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{3\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{E}{x + 1}}$. ${\large (III)}$
 
Substituindo ${\large (II)}$ em ${\large (III)}$:

$\fbox{$\begin{array}{l}{\tiny \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1} \overset{x\ \neq\ \cos \dfrac{\pi}{5}}{=} \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right] } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny \dfrac{\dfrac{\cos{ \dfrac{\pi }{5} } \left[ \left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right] }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }} - \dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}{\left(\sin \dfrac{\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}} -} \\ \\ {\tiny -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right] \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right) } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{2}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny +\dfrac{\dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\cos{ \dfrac{3 \pi }{5} } \left( \left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right) }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}}}{\left(\sin \dfrac{3\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}} -}\\ \\ {\tiny -\dfrac{3 \log \left|x + 1\right|}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30} + c}\\ \\ {\tiny c\ \in\ \mathbb{R}}\end{array}$}$.