Mostre que duas matrizes equivalentes por linhas tem o mesmo espaço de linhas.

Seja $L$ tal espaço de linhas. Se $\displaystyle\sum a_iA_i\ \in\ L$:

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + a_jA_j + a_{j-1}A_{j-1} + \dots\ \in\ L$ ${\large (I)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + ba_jA_j + \dots\ \in\ L$ ${\large (II)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + \left(ba_jA_j + a_kA_k\right) + \dots\ \in\ L$ ${\large (III)}$.

Ou seja, se duas matrizes são obtidas uma da outra por combinações das operações elementares, a saber, ${\large (I)}$, permutação, ${\large (II)}$, multiplicação por escalar, e ${\large (III)}$, substituição de uma linha por a soma desta com um múltiplo de uma outra, tem o mesmo espaço de linhas.

Quod Erat Demonstrandum.