Sejam $U$ e $W$ subespaços de dimensões finitas de um espaço vetorial $V$, mostre que $dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$.

Sejam $\{u_1, \dots , u_m\}$ uma base de $U$ e $\{w_1, \dots , w_n\}$ uma base de $W$, $\{u_1,\dots , u_m, w_1,\dots ,w_n\}$ gera $U + W$.

Seja $\{u_{i_1}, \dots , u_{i_p}, w_{j_1}, \dots , w_{j_q}\}$ um subconjunto independente maximal de $U + W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U + W)\ =\ p + q$

e, além disto,

$\{u_{i_{p+1}}, \dots , u_{i_m}, w_{j_{q+1}}, w_{j_n}\}$ é uma base de $U \cap W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U \cap W) = m - p + n - q$.

Como $p + q = m + n - (m - p + n - q)$,

 

$\fbox{$dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$}$.

Quod Erat Demonstrandum.