Quais as soluções da equação $4^x - 2^x = 12$?

$2^{2x} - 2^x - 12 = 0\ \Rightarrow\ 2^x = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 2$}$

Qual a soma das raízes da equação $3^{x-1} + 3^{4-x} = 36$?

$\dfrac{3^x}{3} + \dfrac{81}{3^x} = 36\ \Rightarrow\ 3^{2x} - 108 \cdot 3^x + 243 = 0\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ 3^{x_1} = 54 - 9\sqrt{33}\ \wedge\ 3^{x_2} = 54 + 9\sqrt{33}$

$3^{x_1 + x_2} = 243\ \Rightarrow\ \fbox{$x_1 + x_2 = 5$}$

Exercício: velocidade de refrigeração.

Uma peça de carne foi colocada num freezes no instante $t = 0$. Após $t$ horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

 

$T(t) = 30 - 5t + \dfrac{4}{t + 1},\ 0 \le t \le 5$.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após $2$ horas?

$T'(2) = -5 - \dfrac{1}{(2 + 1)^2} = \fbox{$-\dfrac{46}{9}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{2x+1} \cdot 4^{3x+1} = 8^{x-1}$.

$2^{8x + 3} = 2^{3x - 3}\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{6}{5}$

$\fbox{$S = \left\{-\dfrac{6}{5}\right\}$}$

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$, mostrar, pela definição de derivada, que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Seja $f$ contínua em $x$:

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x - x - h}{xh(x + h)} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{x^2 + xh} = -\dfrac{1}{x^2}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Determinar o conjunto verdade da equação $2^{x + \frac{3}{2}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$.

$x + \dfrac{3}{2} = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$V = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$}$

Calculadora: valor em cédulas e moedas.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", sendo a primeira parte o valor monetário, e a segunda uma parte separada por vírgulas "," com as cédulas e moedas existentes.

Exemplo: entre com "150; 50, 25"

Valor em cédulas e moedas:

Exercício: ponto de intersecção das retas tangentes.

Determinar o ponto de interseção das tangentes traçadas à curva de equação $f(x) = \dfrac{1 + 3x^2}{3 + x^2}$ nos pontos de ordenada $1$.

 

$f(x) = 1\ \Rightarrow\ x = 1\ \vee\ x = -1$

$f'(1) = \dfrac{6 \cdot 1 \cdot (3 + 1^2) - 2 \cdot 1 \cdot (1 + 3 \cdot 1^2)}{(3 + 1^2)^2} = 1$

$f'(-1) = -1$

$\begin{cases}y - 1 = x - 1\\ y - 1 = -x - 1\end{cases}\ \Rightarrow\ \fbox{$(x, y) = (0, 0)$}$

 

 

Qual a soma das raízes da equação $2^{2x+1} - 2^{x+4} = 2^{x+2} - 32$?

$2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0\ \Rightarrow\ x = 1\ \vee\ x = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\sum = 4$}$

Obter a derivada de $f(x) = \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^3$.

$\fbox{$f'(x) = 3\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^2\left(-\dfrac{2}{x^3} - \dfrac{1}{x^2}\right)$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{6}{x^4} - \dfrac{10}{x^3}$}$

Se $x$ é um número real, resolver $3^{2x} + 3^{x+1} = 18$.

$\cancel{3^x = -6}\ \vee\ 3^x = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 1$}$

Calculadora: combustível mais vantajoso para abastecer um veículo.

Separados por ponto e vírgula ";", entre com os combustíveis. Cada combustível consiste em três partes separadas por vírgula ",": primeiro: o nome; segundo: o preço por volume; terceiro: o quanto de distância seu veículo percorre com tal volume.

Exemplo:

Input: "Gasolina, 8.53, 20; Etanol, 5.67, 15".

Output: "Etanol".




Combustível mais vantajoso:

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #3.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x^2y - 3x^2 - 4xy + 12x + 47 - 12}{xy - 3x - 2y + 6}$.

 

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)} - 2\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)}}{\cancel{xy - 3x - 2y + 6}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} x - 2 = \fbox{$0$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #2.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\sqrt[3]{xy} - 1}{\sqrt{xy} - 1}$.

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{xy - 1} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt[3]{x^2 y^2} + \sqrt[3]{xy} + 1\right)} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis.

Calcular $I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$.

 

$I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{\cancel{(x - y)}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\cancel{x - y}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) = \fbox{$4$}$

Obter a reta tangente ao gráfico de $f(x) = e^{-x^2}$ em $x_0 = 1$.

$f(x_0) = \dfrac{1}{e}$

$f'(x_0) = -2x_0 \cdot e^{-x_0^2} = \dfrac{-2}{e}$

Logo a reta procurada é $y - \dfrac{1}{e} = -\dfrac{2}{e}(x - 1)\ \equiv\ \fbox{$2x + ey - 3 = 0$}$.

 

 

Exercício: número de jovens que trabalham.

(Enem 2020). A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.

De acordo com as informações dadas, qual o número de jovens entrevistados que trabalham?

$(0,136 + 0,452) \cdot 363000 = \fbox{$213444$}$

Se $5^{3y} = 64$, quanto é $5^{-y}$?

$5^y = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$5^{-y} = \dfrac{1}{4}$}$

Exercício: micrômetros para metros.

(Enem 2020). Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.

A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com $100$ micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro?

Resolução:

$100\ \mu m = \fbox{$1,0 \cdot 10^{-4}\ m$}$

Obter a derivada de $f(x) = x^2 \log x$.

$\fbox{$f'(x) = x + 2x\log x$}$

Obter a derivada de $f(x) = 3\sqrt{x} + 5\sqrt[3]{x} + 10$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Considerações sobre o comprimento da senoide.

O comprimento da senoide é dado por $S = 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + \cos^2 x}\ dx$.

Notemos que $0 \le \cos^2 x \le 1$, logo $4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1}\ dx\ \le\ S\ \le\ 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + 1}\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$2\pi \le S \le 2\sqrt{2}\pi$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $-5^{x-1} - 5^x + 5^{x+2} = 119$.

$\left(25 - 1 - \dfrac{1}{5}\right)5^x = 119\ \Rightarrow\ 5^x = 5$

$\fbox{$S = \{1\}$}$

Sejam $a > 0\ \wedge\ a \neq 1$ e $m \neq 0$, mostre que $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b$.

$\log_{a^m} b^n = n\log_{a^m} b = n \cdot \dfrac{\log_a b}{\log_a a^m} = \dfrac{n}{m} \log_a b$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $f(x) = 2|x|$, mostre que não existe $f'(0)$.

Seja $L_1 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{2(x + h) - 2x}{h}$, $L_1 = 2$.

Seja $L_2 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-2(x + h) + 2x}{h}$, $L_2 = -2$.

Como $L_1 \neq L_2$, $\not{\exists}\ f'(0)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{3x - 2} \cdot 8^{x + 1} = 4^{x - 1}$.

$2^{6x + 1} = 2^{2x - 2}\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{3}{4}$

 

$\fbox{$S = \left\{-\dfrac{3}{4}\right\}$}$

Mostre que $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

$x^4 < x^4 + 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^4}\ \overset{x \ge 1}{\Rightarrow}\ 0 < \dfrac{x}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^3}$

Como $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^3}$ converge, pelo critério da comparação, $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Sendo $\log x = 4$ e $\log y^2 = 7$, qual o valor de $L = \log x^3 + 2\log x + 2\log y$?

$\log y = \dfrac{7}{2}$

 

$L = 12 + 8 + 7 = \fbox{$27$}$

Software: renderizar LaTeX.

Entre com o código LaTeX a renderizar:

Exemplo: entre com: "\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sin x\ dx = 1".

Código LaTeX renderizado: