Calculadora: encontrar moda estatística.

Entre com os números a terem a(s) moda(s) encontrada(s), separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "-1, 0, 3, -1, 4.5".
Output: "-1".




Moda(s):

Calculadora: encontrar fração irredutível.

Entre com a fração a reduzir, numerador e denominador números naturais, o denominador não nulo, separados por barra "/".:

Exemplo:

Input: "234 / 52".
Output: "9 / 2".




Fração irredutível:

Calculadora: média aritmética ponderada.

Entre com os pares peso e número a terem a média geométrica calculada, separados por ponto e vírgula ";". Um número é separado do seu peso por vírgula ",", o primeiro elemento do par não nulo. O separador de casas decimais é o ponto ".":

Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".




Média aritmética ponderada:

Calculadora: média harmônica.

Entre com os números a terem a média harmônica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".




Média harmônica:

Calculadora: média geométrica.

Entre com os números a terem a média geométrica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".




Média geométrica:

Calculadora: calcular mdc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mdc:

Exemplo:

Input: "48, 128, 72".
Output: "8".




mdc:

Calculadora: calcular mmc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mmc:

Exemplo:

Input: "24, 9, 13".
Output: "936".




mmc:

Calculadora: calcular expressão numérica.

Entre com a expressão numérica:



Resultado:


Observações:

Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).

Observações:

Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.

Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.

Calculadora: decomposição em fatores primos.

Entre com o número natural a decompor:

Exemplo:

Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".




Decomposição:

Calculadora: média aritmética.

Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".




Média aritmética:

Calculadora: fatorial.

Número a ser calculado o fatorial:

Exemplo:

Input: "5".
Output: "120".




Fatorial:

Exercício: teorema de D'Alembert.

Qual o valor de $b$ para o qual o polinômio $P(x) = 15x^{16} + bx^{15} + 1$ é divisível por $x - 1$?

Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:

$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$

Exercício: valor numérico de um polinômio.

A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?

$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.

$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$

$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$

Exercício: distância de uma intersecção à origem.

Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:

$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$

$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$

Exercício: intersecção de três retas.

As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:

$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$

$P$ pertence a $y = b - x$:

$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$

Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?

$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\  x_Q = y_Q$

$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$

Exercício: determinando a equação de uma reta.

Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?

Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.

$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$

$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$

Exercício: pontos colineares.

Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?

$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:

$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$

$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$

$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$

Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.

Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?

Seja $P(k, 0)$:

$d_{PA} = d_{PB}$

$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$

$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$

$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$

$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$

Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.

Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:

$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$

$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$

$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$

$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$

Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.

Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:

$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$

$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$

Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.

Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.

Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:

$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$

$a = 2r = 6$

$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$

Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.

Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.

Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:

$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$

Exercício: condição para que um número complexo seja real.

Para que valores reais de $k$ o número complexo $(15k - 15) + (k^2 - 9)i$ é real?

A parte imaginária deve  ser nula:

$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$

Exercício: área total de um cone.

A superfície lateral planificada de um cone de revolução é um setor circular de raio $9\ dm$ e de ângulo central de $\dfrac{10\pi}{9}$ radianos. Qual a área total do cone?

Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.

$g = 9$

$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$

$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$

Exercício: volume de um cone.

Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?

Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$

Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:

$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$

Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.

O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?

$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$