Exercício: condição para que um número complexo seja real.

Para que valores reais de $k$ o número complexo $(15k - 15) + (k^2 - 9)i$ é real?

A parte imaginária deve  ser nula:

$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$

Exercício: área total de um cone.

A superfície lateral planificada de um cone de revolução é um setor circular de raio $9\ dm$ e de ângulo central de $\dfrac{10\pi}{9}$ radianos. Qual a área total do cone?

Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.

$g = 9$

$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$

$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$

Exercício: volume de um cone.

Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?

Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$

Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:

$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$

Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.

O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?

$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$

Exercício: determinando raízes de um polinômio conhecidas algumas de suas propriedades.

Resolva em $\mathbb{C}$ a equação $x^5 - 6x^4 + 64x^2 - 144x + 96 = 0$ sabendo que três de suas raízes são iguais e as outras duas são opostas entre si.

Resolução:

Chamemos as iguais de $r_1$ e as opostas de $r_2$ e $-r_2$.

Por uma das relações de Girard:

$6 = r_1 + r_1 + r_1 + \cancel{r_2} - \cancel{r_2} = 3r_1\ \therefore\ r_1 = 2$

Por outra das relações de Girard:

$-96 = -r_1^3 r_2^2= -2^3 r_2^2 = -8 r_2^2$

$r_2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$\fbox{$S = \{2, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\}$}$

Exercício: determinando uma raiz de uma equação polinomial conhecidas as demais.

Os números $-1$ e $1$ são raízes de $P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c$. Qual a terceira raiz?

Utilizando uma das relações de Girard:

$(-1) \cdot 1 \cdot r = -\dfrac{2\cancel{c}}{\cancel{c}}\ \therefore\ \fbox{$r = 2$}$

Exercício: encontrando coeficientes de um polinômio por meio das relações de Girard.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da equação $3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ sabendo que as raízes são $5i$, $-5i$ e $2$.

Utilizando as relações de Girard:

$\cancel{5i} - \cancel{5i} + 2 = - \dfrac{a}{3}\ \therefore\ \fbox{$a = -6$}$

$5i \cdot (-5i) + \cancel{5i \cdot 2} + \cancel{2 \cdot (-5i)} = \dfrac{b}{3}\ \therefore\ \fbox{$b = 75$}$

$5i \cdot (-5i) \cdot 2 = - \dfrac{c}{3}\ \therefore\ \fbox{$c = -150$}$

Exercício: aplicando as relações de Girard.

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $2x^3 - 4x^2 + 3x + 1 = 0$, calcular $\dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$.

Chamemos $R = \dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$

$R = \dfrac{(r_1 r_2)^2 + (r_1 r_3)^2 + (r_2 r_3)^2}{(r_1 r_2 r_3)^2} = \dfrac{(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)^2 - 2 r_1 r_2 r_3 (r_1 + r_2 + r_3)}{(r_1 r_2 r_3)^2}$

Pelas relações de Girard:

$R = \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \cdot 2}{(-\dfrac{1}{2})^2} = \fbox{$17$}$

Exercício: determinando operação entre coeficientes de uma equação polinomial.

Sabendo que $1$ é raiz da equação $x^3 + ax^2 - 2x + b = 0$, calcule o valor de $a+b$.

Substituindo $x$ por $1$ e, como $1$ é raiz, igualando a $0$:

$1 + a - 2 + b = 0\ \therefore\ \fbox{$a + b = 1$}$

Exercício: determinando um polinômio e uma imagem sua.

Um polinômio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx + c$ satisfaz as seguintes condições: $P(1) = 0$; $P(-x) + P(x) = 0$, qualquer que seja $x$ real. Qual o valor de $P(2)$?

$P(1) = 0\ \Rightarrow\ 1 + a + b + c = 0$

$P(-1) + P(1) = 0\ \Rightarrow\ P(-1) = 0\ \Rightarrow\ -1 + a - b + c = 0$

$P(0) + P(0) = 0\ \Rightarrow\ 2c = 0\ \Rightarrow\ c = 0$

$\begin{cases}a + b = -1\\ a - b = 1\end{cases}\ \Rightarrow\ a = 0\ \wedge\ b = -1$

$P(x) = x^3 - x$

$P(2) = 2^3 - 2 = \fbox{$6$}$

Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.

Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$

Exercício: rotação dos eixos cartesianos.

Encontre a imagem $P'$ de $P(1, \sqrt{3})$ sabendo que os eixos foram rotacionados em $\dfrac{\pi}{6}\ rad$ no sentido anti-horário.

Resolução:

No plano de Argand-Gauss:

$(1, \sqrt{3})\ \equiv\ 2(\cos \dfrac{\pi}{3},\ \sin \dfrac{\pi}{3})$

$P'$, depois da rotação, é afixo de um complexo igual ao cujo afixo é $(1, \sqrt{3})$ menos $\dfrac{\pi}{6}$, antes da rotação.

Operando números complexos na forma trigonométrica:

$P'\ \equiv\ 2[\cos (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}),\ \sin (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})]$

$P'\ \equiv\ 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2})\ \equiv\ (\sqrt{3},\ 2)$

Exercício: tempo de queda dada a distância percorrida em uma unidade de tempo.

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

Exercício: instante de encontro de dois móveis.

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?

Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

Exercício: circunferência degenerada em um ponto.

Obtenha os valores reais de $k$ para que a equação $(x+3)^2 + y^2 = 1-2k$ represente um ponto.

Resolução:


Para um $k$ genérico, a equação acima trata-se de uma circunferência, assim, no segundo membro temos o quadrado de seu raio.


Para que a circunferência degenere em um único ponto, que será o seu centro $(-3, 0)$, o raio deve ser nulo, $0$:

$1-2k = 0\ \therefore \ k = \dfrac{1}{2}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: inequação modular.

No universo real, resolva a inequação $|3x|>|5 - 2x|$.

$x < 0$ (I) $\Rightarrow\ -3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x < -5$ (II)

(I) e (II): $x < -5$ (III)

$0 \le x \le \dfrac{5}{2}$ (IV) $\Rightarrow\ 3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x > 1$ (V)

(IV) e (V): $1 < x \le \dfrac{5}{2}$ (VI)

$x > \dfrac{5}{2}$ (VII) $\Rightarrow\ 3x > 2x - 5\ \Rightarrow\ x > -5$ (VIII)

(VII) e (VIII): $x > \dfrac{5}{2}$ (IX)

(III) ou (VI) ou (IX): $x < -5\ \vee\ x > 1$

$S\ =\ ]-\infty, -5[\ \cup\ ]1, +\infty[$

Exercício: determinando parâmetro e imagem de uma função quadrática.

O gráfico da função quadrática definida por $y = x^2 - mx + (m - 1)$, onde $m \in \mathbb{R}$, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de $y$ que essa função associa a $x = 2$?

$\Delta = m^2 - 4m + 4 = 0\ \Rightarrow\ m = 2\ \Rightarrow\ y = x^2 - 2x + 1$

$x = 2\ \Rightarrow\ y = 1$

Exercício: soma de quadrados nula.

Sabendo que $x$, $y$ e $z$ são números reais e $(2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0$, calcule $x + y + z$.

Como temos uma soma de quadrados, ela só será nula se todos os termos também forem nulos, logo:

$z - 3 = 0\ \Rightarrow\ z = 3$ (I)

$x - y = 0\ \Rightarrow\ x = y$ (II)

$2x + y - z = 0\ \wedge\ $(I) $\wedge$ (II) $\Rightarrow\ x = y = 1$ (III)

(I) $\wedge$ (III) $\Rightarrow\ x + y + z = 5$

Exercício: equação da reta paralela que passa por um ponto.

Obtenha uma equação da reta $r$ que passa pelo ponto $P(-2, 3)$ e é paralela à reta $s$ de equação $2x + 4y - 1 = 0$.

$2(-2) + 4\cdot 3 + k = 0\ \therefore\ k = -8$

$r:\ 2x + 4y - 8 = 0$

Exercício: tempo de queda livre.

Um corpo cai em queda livre, percorrendo a primeira metade de sua trajetória em $1\ s$. A trajetória inteira será percorrida em quantos segundos?

Resolução:


Da função horária $S(t) = S_0 +  v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{a}{2}$

$S = a = \dfrac{2a}{2} = \dfrac{a(\sqrt{2})^2}{2}$

Portanto percorrerá toda a trajetória em $\sqrt{2}\ s$.

Exercício: resolvendo uma equação no sistema de numeração de base $2$.

Resolva a equação $10x - 11 = 101$ no sistema de numeração de base $2$.

Resolução:

$10x = 11 + 101$

$10x = 1000$

$x = 100$

Exercício: determinar parâmetro para que uma função tenha inversa.

Determine $k$ para que $f = \{(a, 2k - 1), (c, k)\}$ tenha inversa.

$f$ deve ser injetiva.

$2k - 1 \neq k\ \therefore\ k \neq 1$

$k$ pode assumir qualquer valor, menos o $1$.

Exercício: velocidade de lançamento e uma determinada altura.

Em uma experiência de laboratório, verificou-se que a velocidade de lançamento de um corpo para que este atingisse uma certa altura é $v$, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo a velocidade $2v$. Qual será a velocidade do corpo ao atingir a altura do primeiro ensaio?

Resolução:



Por Torricelli:

$0 = v^2 + 2a\Delta S$

$3v^2 = 4v^2 + 2a\Delta S$

$(\sqrt{3}v)^2 = (2v)^2 + 2a\Delta S$

Portanto a velocidade será $v\sqrt{3}$.

Exercício: determinar equação de uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x-1)^2 + y^2 = 4$, qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

$\overleftrightarrow{AB}$ será perpendicular à reta determinada por $(2, 1)$ e pelo centro da circunferência $(1, 0)$.

$-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1-0}{2-1} \Rightarrow m = -1$

$\overleftrightarrow{AB}: y-1 = -(x-2)$

$\overleftrightarrow{AB}: x + y - 3 = 0$

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

Exercício: determinar parâmetro em circunferência.

Para que valor real de $k$ a equação $(x-1)^2 + (y-2)^2 = k-1$ representa uma circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano?

Resolução:

$(0, 0)$ satisfaz.

$(0-1)^2 + (0-2)^2 = k-1 \Rightarrow k = 6$

Exercício: defasagem entre os ponteiros de um relógio.

Um relógio de ponteiros ficou parado por 2h45m. Em relação ao ponteiro que indica as horas, de quantos graus é a diferença entre sua posição no momento em que o relógio parou e no horário correto?

Resolução:

A cada hora, o ponteiro das horas deslocar-se-á $30$ graus, logo, no total, deslocar-se-á $30 \cdot (2 + \dfrac{3}{4}) = 82,5$ graus, ou $82$ graus é $30$ minutos de grau.

Exercício: diâmetro de um pneu dada sua rotação e a velocidade do veículo.

O pneu de um automóvel a $105,5 km/h$ gira a uma velocidade de $700$ rotações por minuto. Qual é o diâmetro desse pneu?

Resolução:

O pneu percorrerá $\dfrac{105,5}{60} \cdot 1000 \approx 1758$ metros em um minuto.

$1758 = 700 \cdot \pi \cdot d$

$d \approx 0,8$

$d \approx 80 cm$

Exercício: imagem de uma função trigonométrica.

Qual o conjunto imagem da função $f(x) = 2^{2\cos x}$?

Resolução:

$Im_f = [2^{2 \cdot (-1)}, 2^{2 \cdot 1}] = [\dfrac{1}{4}, 4]$

Exercício: uma aplicação do princípio fundamental da contagem.

Num salão há $16$ portas. Calcule o número de formas distintas de se entrar no salão e dele sair por uma porta diferente.

Resolução:

$16 \cdot 15 = 240$

Exercício: perímetro de um triângulo por razão de semelhança no plano cartesiano.

Os pontos $M(2, 3)$, $N(-1, -1)$ e $P(11, 4)$ são pontos médios dos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, de um triângulo $ABC$. Calcule o perímetro do triângulo $ABC$.

Resolução:

A razão de semelhança entre os triângulos $MNP$ e $ABC$ é $\dfrac{1}{2}$, logo basta calcular o perímetro de $MNP$ e multiplicar por $2$.

$P = 2(\sqrt{(2+1)^2 + (3+1)^2} + \sqrt{(2-11)^2 + (3-4)^2} +$

$+ \sqrt{(-1-11)^2 + (-1-4)^2}) = 36 + 2\sqrt{82}$

Exercício: coordenadas do baricentro de um triângulo.

O segmento $\overline{AM}$, com $A(2, 7)$ e $M(11, 1)$, é mediana de um triângulo $ABC$. Determine o baricentro $G$ desse triângulo.

Resolução:


O baricentro pertence à mediana e dista $\dfrac{2}{3}$ do comprimento desta a partir do vértice $A$.

$G[2 + (11 - 2) \cdot \dfrac{2}{3}, 7 + (1 - 7) \cdot \dfrac{2}{3}] \Rightarrow G(8, 3)$

Exercício: inversa de uma função.

Seja $f = \{(a, b), (c, d)\}$. Encontre $f^{-1}$.

Resolução:

$f^{-1} = \{(b, a), (d, c)\}$