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terça-feira, 20 de setembro de 2022
segunda-feira, 19 de setembro de 2022
Conjuntos ordenados circulares.
Conjuntos ordenados circulares são definidos como $\ordcirc{a_i}_0^n$, tais que
$\ordcirc{b_i}_0^n\ =\ \ordcirc{c_j}_0^n\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}m = n\\ b_{i_\delta} = c_{j_\varphi} \\ i_\delta + p = k (n + 1) + j_\varphi \\ p \in \mathbb{N}\\ k \in \mathbb{N}\\ j_\varphi < n + 1\end{cases}$.
Exemplos:
$\ordcirc{a, b, c}\ =\ \ordcirc{c, a, b}$;
$\ordcirc{\pi, \log 2, \dfrac{1}{2}}\ =\ \ordcirc{\log 2, \dfrac{1}{2}, \pi}$.
Coordenadas angulares de Antonio Vandré.
No plano cartesiano, as coordenadas angulares de Antonio Vandré consistem no par ordenado $(\alpha, \beta)$, $\alpha$ o ângulo que a reta que contém $(0, 0)$ e $(x, y)$ faz com o eixo das absissas, e $\beta$ o ângulo que a reta que contém $(1, 0)$ e $(x, y)$ faz com o eixo das absissas, $(x, y) \neq (0, 0)$ e $(x, y) \neq (1, 0)$.
$\begin{cases}\alpha = \arccos \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\\ \beta = \arccos \dfrac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}\end{cases},\ (x, y) \neq (0, 0)\ \wedge\ (x, y) \neq (1, 0)$.
$\begin{cases}x = \dfrac{(\cos \alpha)(\sin \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}\\ y = \dfrac{(\sin \alpha)(\sin \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}\end{cases},\ \alpha \neq \beta$.
domingo, 18 de setembro de 2022
Equação reduzida de Antonio Vandré da reta.
Seja $\tan \theta$ o coeficiente angular de uma reta não vertical $r:\ y - b = (\tan \theta)(x - a)$ que passa pelo ponto $(a, b)$.
$\fbox{$r:\ (\cos \theta)(y - b) = (\sin \theta)(x - a)$}$
é definida como a equação reduzida de Antonio Vandré da reta, que é válida também para retas verticais.
quarta-feira, 14 de setembro de 2022
segunda-feira, 12 de setembro de 2022
Calculadora: decomposição em fatores primos passo a passo.
Decomposição passo a passo:
domingo, 11 de setembro de 2022
Calculadora: equação cartesiana de uma hipérbole dados os focos e a diferença constante.
Equação cartesiana da hipérbole:
terça-feira, 6 de setembro de 2022
Calcular as três primeiras derivadas de $f(x)=\log -x$.
$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$
$f''(x) = \dfrac{1}{x^2}$
$f'''(x) = -\dfrac{2}{x^3}$
quinta-feira, 1 de setembro de 2022
Obter a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$ em $x_0 = 3$.
$f(3) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
$f'(x) = \dfrac{\cancel{x} + 3 - \cancel{x} + 1}{x^2 + 6x + 9}$
$f'(3) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$
Logo a equação da reta procurada será $\fbox{$y - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}(x - 3)$}$.
segunda-feira, 29 de agosto de 2022
Calculadora: equação cartesiana de uma elipse dados os focos e a distância constante.
Equação cartesiana da elipse:
domingo, 28 de agosto de 2022
Número de galinhas e coelhos em um quintal.
Num quintal há galinhas e coelhos. Se o total de cabeças é $32$ e o total de pés é $102$, determine o número de galinhas.
Sejam $g$ o número de galinhas e $c$ o número de coelhos.
$\begin{cases}g + c = 32\\ 2g + 4c = 102\end{cases}\ \Rightarrow\ 2c = 38\ \Rightarrow\ \fbox{$g = 13$}$
Discutir a equação em $x$, $m^2 x + 1 = x + m$, de acordo com o parâmetro real $m$.
$x(m + 1)(m - 1) = m - 1$
Para $m = 1$, $S = \mathbb{R}$.
Para $m = -1$, $S = \varnothing$.
Para $m \neq 1\ \wedge\ m \neq - 1$, $S = \left\{\dfrac{1}{m + 1}\right\}$.
sábado, 27 de agosto de 2022
sexta-feira, 26 de agosto de 2022
Quantos divisores positivos possui o inteiro $300$?
Vamos decompor $300$ em fatores primos.
$\begin{array}{r | l}300 & 2\\ 150 & 2\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \overline{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}\end{array}$
Após a decomposição em fatores primos, o número de divisores positivos será o produto dos expoentes somados com uma unidade.
$n\left[D_+ (300)\right] = 3 \cdot 2 \cdot 3 = \fbox{$18$}$
Qual o algarismo das unidades de $3^{1999}$?
Observemos que
$\begin{array}{l c l c l}3^0 = 1 & & 3^1 = 3 & & 3^2 = 9\\ 3^3 = 27 & & 3^4 = 81 & & 3^5 = 243\end{array}$
O algarismo das unidades assume ciclicamente os valores de $1$, $3$, $9$ e $7$. Assim, como $1999 = 4 \cdot 499 + 3$, o algarismo das unidades de $3^{1999}$ é $\fbox{$7$}$.
M.m.c, m.d.c e produtos de dois números.
Dados os números $N_1 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ e $N_2 = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$, determinar
$\begin{array}{l l}\text{a)} & m.m.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{b)} & m.d.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{c)} & N_1 \cdot N_2\text{;}\\ \text{d)} & m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2)\text{.}\end{array}$
Resolução:
a) $m.m.c. (N_1, N_2) = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$
b) $m.d.c. (N_1, N_2) = 2^a \cdot 3^b$
c) $N_1 \cdot N_2 = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c$
d) $m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2) = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c = N_1 \cdot N_2$
O número $7941063852325$ é quadrado perfeito?
Como termina em $25$, pode ser somente um quadrado perfeito de um número que termina em $5$; devemos verificar se as centenas formam um número que é produto de dois inteiros consecutivos.
Como as centenas formam um número ímpar, ele não pode ser um quadrado perfeito.
Se $2^x + 2^{-x} = n$, encontrar, em função de $n$, $16^x + 16^{-x}$.
$2^x + 2^{-x} = n\ \Rightarrow\ 4^x + 4^{-x} = n^2 - 2\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ 16^x + 16^{-x} = (n^2 - 2)^2 - 2 = \fbox{$n^4 - 4n^2 + 2$}$
Racionalizar o denominador de $\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}}$.
$\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}} = \dfrac{2[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]}{[(\sqrt{3} + 1) + \sqrt{2}][(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})]}{2 + 2\sqrt{3}} =$
$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})}{-2} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{2}$}$
Racionalizar o denominador de $\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4}$.
$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$
$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$
Um truque para encontrar quadrados de inteiros "terminados" em $5$.
Seja um inteiro positivo $n$ "terminado" em $5$, ou seja, $n = 10a + 5$, sendo $a$ o número de dezenas que compõe o número:
$n^2 = (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$.
Ou seja, para encontrar o quadrado de tal número, tal quadrado "terminará" em $25$ e, antes, será o produto de $a$ pelo seu consecutivo.
Exemplos:
$\begin{array}{l c r}15^2 = \underset{1 \cdot 2}{\underbrace{2}}25 & & 205^2 = \underset{20 \cdot 21}{\underbrace{420}}25\end{array}$
quinta-feira, 11 de agosto de 2022
quarta-feira, 10 de agosto de 2022
quarta-feira, 3 de agosto de 2022
Calculadora: equação cartesiana de uma parábola dados a reta geratriz e o foco.
Equação cartesiana da parábola:
Equação de uma parábola dadas a reta geratriz e o foco.
Por definição, uma parábola é, em um plano, o conjunto de pontos que equidistam de uma reta - chamada geratriz - e um ponto, chamado de foco.
Sejam $a_r x + b_r y + c_r = 0$ a reta geratriz e $(a, b)$ o foco:
$\dfrac{|a_r x + b_r y + c_r|}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$
${\scriptsize \fbox{$\left(\dfrac{b_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)x^2 + \left(\dfrac{a_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)y^2 - \left(\dfrac{2a_r b_r}{a_r^2 + b_r^2}\right)xy - \left[\dfrac{2a_r c_r + 2a(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]x - \left[\dfrac{2b_r c_r + 2b(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]y + \left(a^2 + b^2\right) = 0$}}$.