Calculadora: função mais próxima.

Entre com uma string dividida em duas partes por barra vertical "|": primeiro: uma string com funções em "x" separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: os pontos, separados por ponto e vírgula ";", com abscissa e ordenada separadas por dois pontos ":".

Exemplos:

Input: "x; ln(x); sen(x) | 1 : 1; 2 : 2". Output: "x".

Input: "x; ln(x); sen(x) | 1 : 0; euler : 1". Output: "ln(x)".

Input: "x; ln(x); sen(x) | pi : 0; pi/2 : 1". Output: "sen(x)".

(pode travar o sistema)

Função mais próxima:

Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Resolvendo a equação $2\sin x\ =\ \sin 2x$:

$2\sin x\ =\ 2(\sin x)(\cos x)$

Duas soluções são $x = 0$ e $x = \pi$. Para $x \neq 0$ e $x \neq \pi$, $\cos x\ =\ 1$, que não tem solução no universo considerado.

Logo, sendo $A$ a área procurada, $A\ =\ \left| \displaystyle\int_0^\pi [2\sin x\ - 2(\sin x)(\cos x)]\ dx \right|\ =\ 2\left| \displaystyle\int_0^\pi (\sin x)(1 - \cos x)\ dx \right|$.

Seja $u = 1 - \cos x$, $du = \sin x\ dx$.

$A = 2\left| \displaystyle\int_0^2 u\ du \right| = 2 \left| \left. \dfrac{u^2}{2} \right|_0^2 \right| = \left| \left. u^2 \right|_0^2 \right| = \fbox{$4$}$

Encontre $I\ =\ \int (e^{-x} + 4^x) dx$.

$I\ =\ \underset{I_1}{\underbrace{\int e^{-x} dx}} + \underset{I_2}{\underbrace{\int 4^x dx}}$

Seja $u = -x$, $du = -dx$.

$I_1 = -\int e^u du = -e^u + c_1 = -e^{-x} + c_1$

$I_2 = \int e^{x \log 4} dx$

Seja $v = x \log 4$, $dv = (\log 4) dx$.

$I_2 = \dfrac{1}{\log 4} \int e^v dv = \dfrac{e^v}{\log 4} + c_2 = \dfrac{4^x}{\log 4} + c_2$

Logo $\fbox{$I = -e^{-x} + \dfrac{4^x}{\log 4} + c$}$.

Descontinuidade da função característica dos racionais.

Mostre que a função \textit{característica dos racionais}, definida por

$\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \begin{cases}1,\text{ se }x \in \mathbb{Q}\\0,\text{ se }x \not{\in} \mathbb{Q}\end{cases}$

é descontínua em todos os pontos.

Resolução:

Vamos supor que existe um $p$ tal que $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é contínua em $p$, ou seja, $\lim_{x \rightarrow p} \mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)$, ou seja, pela definição de limite, $\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ :\ |x - p| < \delta\ \Rightarrow\ |\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) - \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)| < \epsilon$.

Seja $p$ racional, Se $x$ for irracional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Analogamente, se $p$ é irracional, e se $x$ for racional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Logo, por absurdo, $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é descontínua em todos os pontos.

Encontre $I\ =\ \int \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x} dx$.

$\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x}\ =\ 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x - 1}$

$\fbox{$I\ =\ x - \log |x| + 2\log |x - 1| + c$}$

Sabendo que $f'(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 11}$ e que $f(1) = 0$, qual o valor de $f(0)$?

$\int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 4 + 7} dx\ =\ \int \dfrac{x + 2}{(x + 2)^2 + 7} dx\ = I$

Seja $u = x + 2$, $du = dx$.

$I\ =\ \int \dfrac{u}{u^2 + 7} du$

Seja $v = u^2$, $dv = 2u du$.

$I\ =\ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dv}{v + 7}\ =\ \dfrac{\log |v + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |u^2 + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |x^2 + 4x + 11|}{2} + c$

$f(1) = 0\ \Rightarrow\ c = -\log 4$

$f(0)\ =\ \dfrac{\log 11}{2} - \log 4\ = \fbox{$\log \dfrac{\sqrt{11}}{4}$}$

Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Resolução:

Observemos inicialmente que $f(0) = 0$.

$f'(0)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x > 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \le \dfrac{f(x)}{x} \le x^2 + x$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x < 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \ge \dfrac{f(x)}{x} \ge x^2 + x$

Logo, pelo teorema do confronto, $f'(0)$ existe e é igual a $0$.

Sabe-se que $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é uma função derivável em $\mathbb{R}$ e que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $3$ é $x + 2y = 6$. Seja $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = (f(\sqrt{9 + 4x}))^2$. Determine $g'(0)$.

Sabe-se que $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é uma função derivável em $\mathbb{R}$ e que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $3$ é $x + 2y = 6$. Seja $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = (f(\sqrt{9 + 4x}))^2$. Determine $g'(0)$.

Resolução:

Observemos inicialmente que $f(3) = \dfrac{3}{2}$ e $f'(3) = -\dfrac{1}{2}$.

$g'(x)\ =\ 2f(\sqrt{9 + 4x}) \cdot f'(\sqrt{9 + 4x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{9 + 4x}} \cdot 4$

$g'(0)\ =\ \dfrac{4f(3) \cdot f'(3)}{3}\ = \fbox{$-1$}$

Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Resolução:

$g'(x) = f(x + 1 + \sin 2x) + x (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x)$

$\fbox{$\displaylines{g''(x) =& (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + (1 + 2\cos 2x - 4x\sin 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + \\ &+ x (1 + 2\cos 2x)^2 f''(x + 1 + \sin 2x)}$}$

$g''(0) = 3f'(1) + 3f'(1) = \fbox{$-12$}$

Demonstração: $f(x)$ contínua e racional é constante.

Suponha que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua e $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Prove que $f(x)$ é constante para todo $x \in \mathbb{R}$.

Resolução:

Suponhamos que $f(x)$ não seja constante, ou seja, existem $a$ e $b$ reais tais que $f(a) \neq f(b)$. Sem perda de generalidade suponhamos que $f(a) < f(b)$.

Sendo $f$ contínua, existe um real $c$ tal que $f(a) < f(c) < f(b)$ e $f(c) \in \mathbb{Q'}$, o que é um absurdo, pois, por hipótese, $f(x) \in \mathbb{Q},\ \forall x \in \mathbb{R}$, logo $f$ é constante.

Exercício: esboce o gráfico de $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$.

$g(x) = \lfloor x \rfloor$ é chamada de "função piso", retorna o maior inteiro menor que o real $x$.

$x$ pode ser escrito como $a + b$, onde $a = \lfloor x \rfloor$ e $b$, um número real não negativo tal que $0 \le b < 1$.

Definamos $h(x) = b$.

$f(x) = a + b - a = h(x)$

Estejamos atentos ao detalhe de que, quando $x$ for negativo, digamos, por exemplo, $-2,5$, $\lfloor -2,5 \rfloor = -3$, e $-2,5 = -3 + 0,5$.

Exercício: determinar parâmetro para que uma função tenha inversa.

Determine $k$ para que $f = \{(a, 2k - 1), (c, k)\}$ tenha inversa.

$f$ deve ser injetiva.

$2k - 1 \neq k\ \therefore\ k \neq 1$

$k$ pode assumir qualquer valor, menos o $1$.

Exercício: imagem de uma função trigonométrica.

Qual o conjunto imagem da função $f(x) = 2^{2\cos x}$?

Resolução:

$Im_f = [2^{2 \cdot (-1)}, 2^{2 \cdot 1}] = [\dfrac{1}{4}, 4]$

Exercício: inversa de uma função.

Seja $f = \{(a, b), (c, d)\}$. Encontre $f^{-1}$.

Resolução:

$f^{-1} = \{(b, a), (d, c)\}$

Demonstração: $f$ crescente se $f^{-1}$ também crescente.

Seja $f$ uma função real de variável real e inversível.

Se $f$ é crescente, teremos :

Sejam $x_2 , x_1\ \in\ Dom(f)$:

$x_2 > x_1\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

$f^{-1}[f(x_2)] > f^{-1}[f(x_1)]\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

Assim, se $f$ é crescente, $f^{-1}$ também o é, e, reciprocramente, se $f$ é decrescente, $f^{-1}$ também o é.

Exercício: uma função discreta.

(Cesgranrio-RJ) Sejam $A\ =\ \{1\ ,\ 2\ ,\ 3\}$ e $f:A\rightarrow A$ definida por $f(1)\ =\ 3$, $f(2)\ =\ 1$, e $f(3)\ =\ 2$ Qual o conjunto solução de $f(f(x))\ =\ 3$?

Resolução:

O elemento de $A$ cuja imagem é $3$ é $1$, e o elemento de $A$ cuja imagem é $1$ é o $2$.

$S\ =\ \{2\}$

Exercício: determinando imagens #2.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}_+^*$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(2)\ =\ 1$ e $f(a\ \cdot\ b)\ =\ f(a) + f(b)$, para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}_+^*$. Calcule $f(1)$, $f(4)$ e $f(8)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(1\ \cdot\ 1)\ =\ 2f(1)\ \Rightarrow\ f(1)\ =\ 0$

$f(4)\ =\ f(2\ \cdot\ 2)\ =\ 2f(2)\ =\ 2$

$f(8)\ =\ f(2\ \cdot\ 4)\ =\ f(2) + f(4)\ =\ 1 + 2\ =\ 3$

Exercício: determinando imagens.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(1)\ =\ 3$ e $f(a + b)\ =\ f(a)\ \cdot\ f(b)$ para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}$. Calcule $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$ e $f(4)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(0 + 1)\ =\ f(0)\ \cdot\ f(1)\ =\ 3\ \Rightarrow\ f(0)\ =\ 1$

$f(2)\ =\ f(1 + 1)\ =\ {f(1)}^2\ =\ 9$

$f(3)\ =\ f(1 + 2)\ =\ f(1)\ \cdot\ f(2)\ =\ 3\ \cdot\ 9\ =\ 27$

$f(4)\ =\ f(2 + 2)\ =\ {f(2)}^2\ =\ 81$

Exercício: determinar lei de formação da função.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definida pela lei $f(2x-1)\ =\ 5x + 3$. Calcule $f(x)$.

Resolução:

Chamemos $t\ =\ 2x - 1$.

$x\ =\ \dfrac{t + 1}{2}$

Assim:

$f(t)\ =\ 5\ \cdot\ \dfrac{t + 1}{2}\ +\ 3$

$f(t)\ =\ \dfrac{5t}{2} + \dfrac{11}{2}$

Como $t$ e $x$ são elementos de um mesmo conjunto domínio:

$f(x)\ =\ \dfrac{5x}{2} + \dfrac{11}{2}$

Comprimento do gráfico cartesiano de uma função qualquer.

Consideremos o gráfico de uma função qualquer em $x$ $f(x)$.

Tendo por objetivo calcular seu comprimento, basta calcular a integral da distância $d$ entre dois pontos do gráfico cujas abscissas são os limites:



Por Pitágoras, temos que $d^2\ =\ (x_2\ -\ x_1)^2 + [f(x_2)\ -\ f(x_1)]^2$

Considerando $x_2\ -\ x_1\ =\ \delta$ e $f(x_2)\ -\ f(x_1)\ =\ f(x_1\ +\ \delta)\ -\ f(x_1)$, e para simplificar os cálculos considerar $x_1\ =\ a$, temos:

$C_{f_{a\to b}}\ =$

$=\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_a^{b\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}\ -$

$-\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}$

$\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ dá a área do gráfico $d\ \times\ \delta $.

$\int_a^{b\ -\ 1} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ seria o subtraendo da área para obtermos $d(b)$, mas como podemos ter $b\ -\ a\ \leq\ 1$ devemos subtrair de $b$ um infinitesimal $\epsilon$, mas em contrapartida devemos multiplicar a diferença de áreas por $\dfrac{1}{\epsilon}$ afim de obter uma área restante de $1\ \cdot\ d(b)$ unidades.

O mesmo raciocínio para $\int_{a\ +\ 1}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ afim de encontrar $d(a)$.

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Exemplo:

Seja $f(x)\ =\ x$:

Como $a\ =\ 0\ \wedge\ f(0)\ =\ 0$, temos que $d(0)\ =\ 0$, ou seja:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\ =\ 0$

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_0^1 \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta\ -\ \int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta}{\epsilon}$

$\int_0^1 \sqrt{2\delta^2}\ d\delta\ =\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{2\delta^2}\ d\delta =\ (1\ -\ \epsilon)^2\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ =\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Usando L'Hôpital:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\ -\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\epsilon}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} - (-2\ +\ 2\epsilon)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ = \sqrt{2}$

Assim:

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \sqrt{2}$