Descontinuidade da função característica dos racionais.

Mostre que a função \textit{característica dos racionais}, definida por

$\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \begin{cases}1,\text{ se }x \in \mathbb{Q}\\0,\text{ se }x \not{\in} \mathbb{Q}\end{cases}$

é descontínua em todos os pontos.

Resolução:

Vamos supor que existe um $p$ tal que $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é contínua em $p$, ou seja, $\lim_{x \rightarrow p} \mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)$, ou seja, pela definição de limite, $\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ :\ |x - p| < \delta\ \Rightarrow\ |\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) - \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)| < \epsilon$.

Seja $p$ racional, Se $x$ for irracional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Analogamente, se $p$ é irracional, e se $x$ for racional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Logo, por absurdo, $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é descontínua em todos os pontos.