Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Resolução:

Observemos inicialmente que $f(0) = 0$.

$f'(0)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x > 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \le \dfrac{f(x)}{x} \le x^2 + x$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x < 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \ge \dfrac{f(x)}{x} \ge x^2 + x$

Logo, pelo teorema do confronto, $f'(0)$ existe e é igual a $0$.