A função $y = Axe^x$ é solução da equação diferencial $y^{(4)} + 2y''' - 2y' - y = 10e^x$. Determine a contante $A$.

$y' = Ae^x + Axe^x$

$y'' = 2Ae^x + Axe^x$

$y''' = 3Ae^x + Axe^x$

$y^{(4)} = 4Ae^x + Axe^x$

Substituindo na equação:

$4Ae^x + \cancel{Axe^x} + 6Ae^x + \cancel{2Axe^x} - 2Ae^x - \cancel{2Axe^x} - \cancel{Axe^x} = 10e^x$

$8A\cancel{e^x} = 10\cancel{e^x}\ \Rightarrow\ \fbox{$A = \dfrac{5}{4}$}$

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1}$.

Afim de decompor $\dfrac{1}{x^5 + 1}$ em frações parciais, calculemos as raízes quintas de $-1$, que estão graficamente representadas abaixo:

Logo $\dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{Cx + D}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{E}{x + 1}$. ${\large (I)}$

Donde, resolvendo o sistema:

${\tiny \begin{cases}B + D + E = 1\\ \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[10 - 6\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[10 - 6\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\end{cases}}$,

obtemos:

${\tiny \begin{cases}A = \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ B = -\dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ C = -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ D = \dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ E = -\dfrac{3}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30}\end{cases}}$. ${\large (II)}$

De ${\large (I)}$ obtemos:

${\tiny \dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{A}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{B + A\cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{C}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{3\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{D + C\cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{3\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{E}{x + 1}}$. ${\large (III)}$
 
Substituindo ${\large (II)}$ em ${\large (III)}$:

$\fbox{$\begin{array}{l}{\tiny \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1} \overset{x\ \neq\ \cos \dfrac{\pi}{5}}{=} \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right] } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny \dfrac{\dfrac{\cos{ \dfrac{\pi }{5} } \left[ \left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right] }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }} - \dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}{\left(\sin \dfrac{\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}} -} \\ \\ {\tiny -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right] \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right) } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{2}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny +\dfrac{\dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\cos{ \dfrac{3 \pi }{5} } \left( \left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right) }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}}}{\left(\sin \dfrac{3\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}} -}\\ \\ {\tiny -\dfrac{3 \log \left|x + 1\right|}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30} + c}\\ \\ {\tiny c\ \in\ \mathbb{R}}\end{array}$}$.

Aplicação da Velocidade Angular de Antonio Vandré: Cinema.

Imaginemos uma cena a ser gravada por uma câmera de um personagem que se desloca sobre a reta $f(x) = 0$ com velocidade $v = 1\ m/s$, estando a câmera posicionada em $(5, 5)$. Se desejamos sabe a velocidade angular de rotação da câmera estando esta filmando o personagem em deslocamento quando este se encontra em $(0, 0)$, tal será

$\left|\mathcal{V\alpha_A}_{0, 1}^{[(5, 5), (5, 0)]} (0)\right| = \left|\dfrac{-1}{10}\right| = 0,1\ rad/s$.

Aplicação de Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré: lançamento horizontal.

Seja um ponto material lançado horizontamente de uma altura $h$ com uma velocidade $v$ em um lugar onde a aceleração da gravidade seja $g$. Encontrar o espaço percorrido pelo ponto material até atingir o solo.

 

Basta encontrar a segunda coordenada quadrática de Antonio Vandré quando $x = v\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ e $a = \dfrac{g}{2v^2}$.

$ax = \sqrt{\dfrac{gh}{2v^2}}$

$\fbox{$d = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2gh\left(1 + \dfrac{2gh}{v^2}\right)}{v^2}} + \log \left(\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v^2}}\right)}{\sqrt{\dfrac{8gh}{v^2}}}$}$

Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré.

Seja um ponto $(x_0, y_0)$ no plano, não pertencente ao eixo das ordenadas, pertencente à parábola $y = ax^2$, define-se Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré ao par ordenado $(a, d)$, onde $d$ é o comprimento da parábola de $(0, 0)$ a $(x_0, y_0)$, ou seja, $d = \dfrac{2ax_0 \sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + \log \left|\sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + 2ax_0\right|}{4ax_0}$.

Exemplo:

Encontrar as Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré de $(2, 2)$.

$a = \dfrac{1}{2}$

$d = \dfrac{2 \sqrt{1 + 4} + \log \left|\sqrt{1 + 4} + 2\right|}{4}$

Logo $\fbox{$(2, 2) \equiv \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2\sqrt{5} + \log \left(2 + \sqrt{5}\right)}{4}\right)$}$.

Calculadora: Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão para $x_0$; segundo: a expressão para $y_0$; terceiro: a expressão para $v_x$; quarto: a expressão para $v_y$; quinto: a função $u(t)$, deve ser uma função em "t"; sexto: um número real não negativo como valor inferior para "t"; sétimo: um número real maior que o valor inferior como valor superior para "t"; oitavo: a resolução, quanto maior, mais precisa a curva, porém o cálculo mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \sqrt{x + 3}\ dx$.

Seja $u = x + 3$, $du = dx$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int_3^4 \sqrt{u}\ du\ =\ \left.\dfrac{2\sqrt{u^3}}{3}\right|_3^4 = \fbox{$\dfrac{16}{3} - 2\sqrt{3}$}$

Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Seja um ponto percorrendo $\begin{cases}x = x_0 + abv_x t\\ y = x_0 + abv_y t\end{cases}$, com $t \ge 0$, tal que, após executar

$\begin{cases}b\ \text{recebe}\ 1\text{.}\\ \text{Se}\ v_x \ge 0,\ \text{então}\ a\ \text{recebe}\ 1,\ \text{senão}\ a\ \text{recebe}\ -1\text{.}\end{cases}$,

 

para cada acréscimo infinitesimal em $t$, o algoritmo seguinte é executado:

 

$\begin{cases}\theta\ \text{recebe}\ \arctan \dfrac{u(t)\ dt}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} + \arctan \dfrac{v_y}{v_x}\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}\text{Se}\ |\theta| > \dfrac{\pi}{2},\ \text{então}\ b\ \text{recebe}\ -b\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}V_x\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \cos \theta\text{.} \\ V_y\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \sin \theta\text{.}\end{cases}$

$\begin{cases}v_x\ \text{recebe}\ V_x\text{.}\\ v_y\ \text{recebe}\ V_y\text{.}\end{cases}$.

Tal ponto descreverá uma chamada Curva Dirigida de Antonio Vandré. A função $u(t)$ é chamada Função Característica da Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Calcular a segunda derivada de $f(x) = \log_a x$.

$f'(x) = \dfrac{1}{x\log a}$

$\fbox{$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2 \log a}$}$

Qual a derivada de $f(x) = \sqrt[3]{\sin x}$?

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$}$

Exercício: velocidade de refrigeração.

Uma peça de carne foi colocada num freezes no instante $t = 0$. Após $t$ horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

 

$T(t) = 30 - 5t + \dfrac{4}{t + 1},\ 0 \le t \le 5$.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após $2$ horas?

$T'(2) = -5 - \dfrac{1}{(2 + 1)^2} = \fbox{$-\dfrac{46}{9}$}$

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$, mostrar, pela definição de derivada, que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Seja $f$ contínua em $x$:

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x - x - h}{xh(x + h)} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{x^2 + xh} = -\dfrac{1}{x^2}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: ponto de intersecção das retas tangentes.

Determinar o ponto de interseção das tangentes traçadas à curva de equação $f(x) = \dfrac{1 + 3x^2}{3 + x^2}$ nos pontos de ordenada $1$.

 

$f(x) = 1\ \Rightarrow\ x = 1\ \vee\ x = -1$

$f'(1) = \dfrac{6 \cdot 1 \cdot (3 + 1^2) - 2 \cdot 1 \cdot (1 + 3 \cdot 1^2)}{(3 + 1^2)^2} = 1$

$f'(-1) = -1$

$\begin{cases}y - 1 = x - 1\\ y - 1 = -x - 1\end{cases}\ \Rightarrow\ \fbox{$(x, y) = (0, 0)$}$

 

 

Obter a derivada de $f(x) = \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^3$.

$\fbox{$f'(x) = 3\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^2\left(-\dfrac{2}{x^3} - \dfrac{1}{x^2}\right)$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{6}{x^4} - \dfrac{10}{x^3}$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #3.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x^2y - 3x^2 - 4xy + 12x + 47 - 12}{xy - 3x - 2y + 6}$.

 

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)} - 2\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)}}{\cancel{xy - 3x - 2y + 6}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} x - 2 = \fbox{$0$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #2.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\sqrt[3]{xy} - 1}{\sqrt{xy} - 1}$.

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{xy - 1} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt[3]{x^2 y^2} + \sqrt[3]{xy} + 1\right)} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis.

Calcular $I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$.

 

$I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{\cancel{(x - y)}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\cancel{x - y}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) = \fbox{$4$}$

Obter a reta tangente ao gráfico de $f(x) = e^{-x^2}$ em $x_0 = 1$.

$f(x_0) = \dfrac{1}{e}$

$f'(x_0) = -2x_0 \cdot e^{-x_0^2} = \dfrac{-2}{e}$

Logo a reta procurada é $y - \dfrac{1}{e} = -\dfrac{2}{e}(x - 1)\ \equiv\ \fbox{$2x + ey - 3 = 0$}$.

 

 

Obter a derivada de $f(x) = x^2 \log x$.

$\fbox{$f'(x) = x + 2x\log x$}$