Calculadora: Coordenadas angulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com as coordenadas angulares de Antonio Vandré, separadas por ponto e vírgula ";".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: Coordenadas cartesianas para coordenadas angulares de Antonio Vandré.

Entre com o ponto, abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";".




Coordenadas angulares de Antonio Vandré:

Conjuntos ordenados circulares.

 Conjuntos ordenados circulares são definidos como $\ordcirc{a_i}_0^n$, tais que

$\ordcirc{b_i}_0^n\ =\ \ordcirc{c_j}_0^n\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}m = n\\ b_{i_\delta} = c_{j_\varphi} \\ i_\delta + p = k (n + 1) + j_\varphi \\ p \in \mathbb{N}\\ k \in \mathbb{N}\\ j_\varphi < n + 1\end{cases}$.

Exemplos:

$\ordcirc{a, b, c}\ =\ \ordcirc{c, a, b}$;

 

$\ordcirc{\pi, \log 2, \dfrac{1}{2}}\ =\ \ordcirc{\log 2, \dfrac{1}{2}, \pi}$.

Coordenadas angulares de Antonio Vandré.

 

No plano cartesiano, as coordenadas angulares de Antonio Vandré consistem no par ordenado $(\alpha, \beta)$, $\alpha$ o ângulo que a reta que contém $(0, 0)$ e $(x, y)$ faz com o eixo das absissas, e $\beta$ o ângulo que a reta que contém $(1, 0)$ e $(x, y)$ faz com o eixo das absissas, $(x, y) \neq (0, 0)$ e $(x, y) \neq (1, 0)$.

 

$\begin{cases}\alpha = \arccos \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\\ \beta = \arccos \dfrac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}\end{cases},\ (x, y) \neq (0, 0)\ \wedge\ (x, y) \neq (1, 0)$.

$\begin{cases}x = \dfrac{(\cos \alpha)(\sin \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}\\ y = \dfrac{(\sin \alpha)(\sin \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}\end{cases},\ \alpha \neq \beta$.

Equação reduzida de Antonio Vandré da reta.

Seja $\tan \theta$ o coeficiente angular de uma reta não vertical $r:\ y - b = (\tan \theta)(x - a)$ que passa pelo ponto $(a, b)$.

$\fbox{$r:\ (\cos \theta)(y - b) = (\sin \theta)(x - a)$}$

 

é definida como a equação reduzida de Antonio Vandré da reta, que é válida também para retas verticais.

Aplicação da Velocidade Angular de Antonio Vandré: Cinema.

Imaginemos uma cena a ser gravada por uma câmera de um personagem que se desloca sobre a reta $f(x) = 0$ com velocidade $v = 1\ m/s$, estando a câmera posicionada em $(5, 5)$. Se desejamos sabe a velocidade angular de rotação da câmera estando esta filmando o personagem em deslocamento quando este se encontra em $(0, 0)$, tal será

$\left|\mathcal{V\alpha_A}_{0, 1}^{[(5, 5), (5, 0)]} (0)\right| = \left|\dfrac{-1}{10}\right| = 0,1\ rad/s$.

Aplicação de Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré: lançamento horizontal.

Seja um ponto material lançado horizontamente de uma altura $h$ com uma velocidade $v$ em um lugar onde a aceleração da gravidade seja $g$. Encontrar o espaço percorrido pelo ponto material até atingir o solo.

 

Basta encontrar a segunda coordenada quadrática de Antonio Vandré quando $x = v\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ e $a = \dfrac{g}{2v^2}$.

$ax = \sqrt{\dfrac{gh}{2v^2}}$

$\fbox{$d = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2gh\left(1 + \dfrac{2gh}{v^2}\right)}{v^2}} + \log \left(\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v^2}}\right)}{\sqrt{\dfrac{8gh}{v^2}}}$}$

Calculadora: Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré.

Entre com, separadas por ponto e vírgula ";" a abscissa e a ordenada cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "2; sen(pi/6)".




Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré:

Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré.

Seja um ponto $(x_0, y_0)$ no plano, não pertencente ao eixo das ordenadas, pertencente à parábola $y = ax^2$, define-se Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré ao par ordenado $(a, d)$, onde $d$ é o comprimento da parábola de $(0, 0)$ a $(x_0, y_0)$, ou seja, $d = \dfrac{2ax_0 \sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + \log \left|\sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + 2ax_0\right|}{4ax_0}$.

Exemplo:

Encontrar as Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré de $(2, 2)$.

$a = \dfrac{1}{2}$

$d = \dfrac{2 \sqrt{1 + 4} + \log \left|\sqrt{1 + 4} + 2\right|}{4}$

Logo $\fbox{$(2, 2) \equiv \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2\sqrt{5} + \log \left(2 + \sqrt{5}\right)}{4}\right)$}$.

Calculadora: conversão de Coordenadas Canônicas de Distância de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os elementos da Coordenada Canônica de Antonio Vandré da qual se deseja conhecer em coordenadas cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "sqrt(2); ln(euler); 1".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: conversão de Coordenadas de Distância de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o primeiro ponto de referência e sua distância, segundo: o segundo ponto de referência e sua distância, terceiro: o ponto de referência e sua distância; abscissas, ordenadas e distâncias separadas por dois pontos ":".

Exemplo:

Entre com: "Entre com: "3: 4: 5; -1: -1: sqrt(2); 0: log(64, 4): 3".".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré.

Entre com, separadas por ponto e vírgula ";" a abscissa e a ordenada cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "2; pi - 1".




Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré:

Calculadora: Coordenada de Distância de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o ponto em coordenadas cartesianas, segundo: o ponto de referência "P", terceiro: o ponto de referência "Q", quarto: o ponto de referência "R"; abscissas e ordenadas separadas por dois pontos ":".

Exemplo:

Entre com: "2: 2; 3: 2; 1: pi; -4: euler".




Coordenada de Distância de Antonio Vandré:

Coordenas de Distância de Antonio Vandré. Coordenas Canônicas de Distância de Antonio Vandré.

Coordenas de Distância de Antonio Vandré.

 

Seja um ponto $X(x, y)$ no plano e três pontos de referência $P(x_P, y_P)$, $Q(x_Q, y_Q)$ e $R(x_R, y_R)$, a matriz

$\begin{bmatrix}x_P & y_P & d_{PX}\\ x_Q & y_Q & d_{QX}\\ x_R & y_R & d_{RX}\end{bmatrix}$

chama-se uma Coordenada de Distância de Antonio Vandré do ponto $X$ para os pontos de referência $P$, $Q$ e $R$.

Coordenas Canônicas de Distância de Antonio Vandré.

Define-se Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré uma Coordenada de Distância de Antonio Vandré quando $P \equiv (0, 0)$, $Q \equiv (1, 0)$ e $R \equiv (0, 1)$, que podem ser suprimidos, onde a coordenada será da forma $[d_{PX}, d_{QX}, d_{RX}]$.

Exemplo: encontrar a coordenada canônica de distância de Antonio Vandré de $(2, 2)$.

$(2, 2) \equiv [2\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

Calculadora: Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão para $x_0$; segundo: a expressão para $y_0$; terceiro: a expressão para $v_x$; quarto: a expressão para $v_y$; quinto: a função $u(t)$, deve ser uma função em "t"; sexto: um número real não negativo como valor inferior para "t"; sétimo: um número real maior que o valor inferior como valor superior para "t"; oitavo: a resolução, quanto maior, mais precisa a curva, porém o cálculo mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Seja um ponto percorrendo $\begin{cases}x = x_0 + abv_x t\\ y = x_0 + abv_y t\end{cases}$, com $t \ge 0$, tal que, após executar

$\begin{cases}b\ \text{recebe}\ 1\text{.}\\ \text{Se}\ v_x \ge 0,\ \text{então}\ a\ \text{recebe}\ 1,\ \text{senão}\ a\ \text{recebe}\ -1\text{.}\end{cases}$,

 

para cada acréscimo infinitesimal em $t$, o algoritmo seguinte é executado:

 

$\begin{cases}\theta\ \text{recebe}\ \arctan \dfrac{u(t)\ dt}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} + \arctan \dfrac{v_y}{v_x}\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}\text{Se}\ |\theta| > \dfrac{\pi}{2},\ \text{então}\ b\ \text{recebe}\ -b\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}V_x\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \cos \theta\text{.} \\ V_y\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \sin \theta\text{.}\end{cases}$

$\begin{cases}v_x\ \text{recebe}\ V_x\text{.}\\ v_y\ \text{recebe}\ V_y\text{.}\end{cases}$.

Tal ponto descreverá uma chamada Curva Dirigida de Antonio Vandré. A função $u(t)$ é chamada Função Característica da Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Comprimento do gráfico de uma função em coordenadas polares.

Seja $\rho(\theta)$ uma função diferenciável no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ seu comprimento quando $\theta$ varia de $a$ a $b$:

 

 

 

${\small C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left\{\left[\rho(\theta_{i+1})\right]\left[\cos(\theta_{i+1})\right] - \left[\rho(\theta_i)\right]\left[\cos(\theta_i)\right]\right\}^2 + \left\{\left[\rho(\theta_{i+1})\right]\left[\sin(\theta_{i+1})\right] - \left[\rho(\theta_i)\right]\left[\sin(\theta_i)\right]\right\}^2}}$

 

Seja um $\theta_k$ tal que $\theta_i \le \theta_k \le \theta_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

 

${\scriptsize C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left\{(\theta_{i+1} - \theta_i)\left[\rho'(\theta_k)\cos \theta_k - \rho(\theta_k)\sin \theta_k\right]\right\}^2 + \left\{(\theta_{i+1} - \theta_i)\left[\rho'(\theta_k)\sin \theta_k + \rho(\theta_k)\cos \theta_k\right]\right\}^2} =}$

 

${\scriptsize = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[\rho'(\theta_k)\cos \theta_k - \rho(\theta_k)\sin \theta_k\right]^2 + \left[\rho'(\theta_k)\sin \theta_k + \rho(\theta_k)\cos \theta_k\right]^2} (\theta_{i+1} - \theta_i)}$

 

Logo, pela definição de integral:

 

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[\rho'(\theta)\cos \theta - \rho(\theta)\sin \theta\right]^2 + \left[\rho'(\theta)\sin \theta + \rho(\theta)\cos \theta\right]^2}\ d\theta$}$

 

Exemplo: seja $\rho(\theta) = 1$, $a = 0$ e $b = 2\pi$ (o ciclo trigonométrico):

 

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}\ d\theta = \left.\theta\right|_0^{2\pi} = 2\pi$.

Ponto Futuro de Antonio Vandré.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções diferenciáveis em $(a, b)$ tais que $[a, b] \subset D_f$ e $[a, b] \subset D_g$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é aquele em que, duas partículas, deslocando-se sob os gráficos de $f$ e $g$, cada uma com sua velocidade, encontram-se.

Sejam $v_f$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $f$, $v_g$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $g$, $x_o \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $f$ e ${x_o}_g \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $g$:

Os pontos futuros de Antonio Vandré $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right),\ x_{pfa} \in [a, b]$, se existirem, serão dados pelas soluções $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right)$ de:

$\fbox{$v_g\displaystyle\int_{{x_o}_f}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\ =\ v_f\displaystyle\int_{{x_o}_g}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[g'(x)\right]^2}\ dx\ \wedge\ f(x_{pfa}) = g(x_{pfa})$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = x$, $g(x) = 1$, $v_f = \sqrt{2}$, $v_g = 1$, ${x_o}_f = 0$ e ${x_o}_g = 0$:

$\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} \sqrt{2}\ dx = \sqrt{2}\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} dx\ \Rightarrow\ \sqrt{2}x_{pfa} = \sqrt{2}x_{pfa}\ \Rightarrow\ x_{pfa} \in \mathbb{R}$.

Como $x = 1$ é a única solução de $f(x) = g(x)$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é $(1, 1)$.

Calculadora: Velocidade Funcional de Antonio Vandré.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o eixo Ox, a terceira a abscissa do ponto no qual se deseja conhecer a velocidade:

Exemplo:

Input: "x; 1; 1". Output: aproximadamente "sqrt(2)".




Velocidade Funcional de Antonio Vandré: