Ponto Futuro de Antonio Vandré.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções diferenciáveis em $(a, b)$ tais que $[a, b] \subset D_f$ e $[a, b] \subset D_g$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é aquele em que, duas partículas, deslocando-se sob os gráficos de $f$ e $g$, cada uma com sua velocidade, encontram-se.

Sejam $v_f$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $f$, $v_g$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $g$, $x_o \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $f$ e ${x_o}_g \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $g$:

Os pontos futuros de Antonio Vandré $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right),\ x_{pfa} \in [a, b]$, se existirem, serão dados pelas soluções $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right)$ de:

$\fbox{$v_g\displaystyle\int_{{x_o}_f}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\ =\ v_f\displaystyle\int_{{x_o}_g}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[g'(x)\right]^2}\ dx\ \wedge\ f(x_{pfa}) = g(x_{pfa})$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = x$, $g(x) = 1$, $v_f = \sqrt{2}$, $v_g = 1$, ${x_o}_f = 0$ e ${x_o}_g = 0$:

$\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} \sqrt{2}\ dx = \sqrt{2}\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} dx\ \Rightarrow\ \sqrt{2}x_{pfa} = \sqrt{2}x_{pfa}\ \Rightarrow\ x_{pfa} \in \mathbb{R}$.

Como $x = 1$ é a única solução de $f(x) = g(x)$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é $(1, 1)$.