Encontre o termo em $x^6$ no desenvolvimento de $(2x^3 - 3y)^4$.

$(2x^3 - 3y)^4 = \displaystyle\sum_{p=0}^4 \displaystyle{4 \choose p} (2x^3)^{4-p} (-3y)^p$

$3(4 - p) = 6\ \Rightarrow\ p = 2$

Logo o termo procurado é $\displaystyle{4 \choose 2} (2x^3)^{4-2} (-3y)^2 = \fbox{$216 x^6 y^2$}$.

Simplificar $\displaystyle{{9 \choose 3} + {10 \choose 7} + {9 \choose 5}}$.

$\displaystyle{{9 \choose 3} + \underset{\displaystyle{10 \choose 3}}{\underbrace{{10 \choose 7}}} + \underset{\displaystyle{9 \choose 4}}{\underbrace{{9 \choose 5}}}} = \displaystyle{{10 \choose 3} + \underset{\text{Stifel}}{\underbrace{{10 \choose 4}}}} = \fbox{$\displaystyle{11 \choose 4}$}$

Relação de Stifel.

$\displaystyle{{n \choose p} + {n \choose p+1}} = \displaystyle{{n+1 \choose p+1}}$

Demonstração:

$\displaystyle{{n \choose p} + {n \choose p+1}} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} + \dfrac{n!}{(p+1)!(n-p-1)!} = \dfrac{n!(p+1) + n!(n-p)}{(p+1)!(n-p)!} =$

$= \dfrac{n!(n+1)}{(p+1)!(n-p)!} = \dfrac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!} = \dfrac{(n+1)!}{(p+1)![(n+1)-(p+1)]!} = \displaystyle{{n+1 \choose p+1}}$

C.Q.D.

$\left[\displaystyle{{n \choose p}+{n \choose p+1}}\right]\displaystyle{{n+1 \choose p+1}} = \displaystyle{{n+1 \choose p+1}}^2$

Demonstração:

Pela Relação de Stifel, $\displaystyle{{n \choose p}+{n \choose p+1}} = \displaystyle{{n+1 \choose p+1}}$.

C.Q.D.

Determinar o número de anagramas, com ou sem significado, da palavra "alarmar".

"alarmar" tem $7$ letras com o "a" repetido $3$ vezes e o $r$ repetido $2$ vezes,

logo teremos $P_7^{3,2} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{6} \cdot \cancel{2}} = \fbox{$420$}$ anagramas (permutações com repetição).

Número de subconjuntos dada a propriedade "a soma de seus elementos é ímpar".

Quantos subconjuntos de $3$ elementos podemos formar com os elementos de $C = \{2, 3, 6, 7, 9, 11, 16, 22, 56, 87, 243, 301\}$ com a característica "a soma de seus elementos é ímpar"?

Resolução:

Observemos que em $C$ há $5$ números pares e $7$ números ímpares.

Observemos também que, para que uma soma de $3$ parcelas seja ímpar, $2$ parcelas devem ser pares e $1$ ímpar, ou as $3$ parcelas devem ser ímpares.

Logo, o número de subconjuntos procurados é $\displaystyle{{5 \choose 2} \cdot 7 + {7 \choose 3}} = \fbox{$105$}$.

Número de cordas e triângulos em uma circunferência.

Seja uma circunferência com os seguintes pontos destacados:

a) Quantas cordas podemos construir com os pontos dados?

b) Quantos triângulos podemos construir com tais pontos?

Resolução:

Se os pontos estão em uma circunferência, não há $3$ colineares, logo teremos

$\fbox{$\displaystyle{8 \choose 2} = 28$ cordas distintas}$,

e

$\fbox{$\displaystyle{8 \choose 3} = 56$ triângulos distintos}$.

Quantos números podemos formar com a multiplicação de $3$ dos fatores primos de $2730$?

Quantos números podemos formar com a multiplicação de $3$ dos fatores primos de $2730$?

Resolução:

$2730 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Como os fatores são em número de $5$, e sabendo que a multiplicação é comutativa, existirão $\displaystyle{5 \choose 3}$ produtos distintos.

$\displaystyle{5 \choose 3} = \dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \fbox{$10$}$

Resolva a equação $A_{3n+3,n+2} = 15 \cdot A_{3n+2,n+1}$.

$\dfrac{(3n+3)!}{[(3n+3)-(n+2)]!} = \dfrac{15(3n+2)!}{[(3n+2)-(n+1)]!}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \dfrac{3n+3}{(2n+1)!} = \dfrac{15}{(2n+1)!}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 3n + 3 = 15\ \Rightarrow \fbox{$n = 4$}$

Simplifique $\dfrac{A_{n-1,n-3}}{A_{n+1,n}}$.

$\dfrac{A_{n-1,n-3}}{A_{n+1,n}} = \dfrac{(n-1)!}{2(n+1)!} = \dfrac{1}{2(n+1)n} = \fbox{$\dfrac{1}{2n^2 + 2n}$}$

Calculadora: fatorial.

Número a ser calculado o fatorial:

Exemplo:

Input: "5".
Output: "120".




Fatorial:

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: uma aplicação do princípio fundamental da contagem.

Num salão há $16$ portas. Calcule o número de formas distintas de se entrar no salão e dele sair por uma porta diferente.

Resolução:

$16 \cdot 15 = 240$

Quantas intersecções determinam $n$ retas?

Vamos estudar o que ocorre no caso de termos apenas retas coplanares e concorrentes, analisando uma única:



Teremos $p$ intersecções para $p$ retas concorrentes a uma única.

Como globalmente temos $p+1$ retas, o número de intersecções contadas será de $p(p+1)$. Mas como cada ponto foi computado $2$ vezes, teremos um total de $i_{p+1} = \dfrac{p(p+1)}{2}$ intersecções para $p+1$ retas.

Se tivermos paralelas ou reversas em jogo, consideremos $m$ o número de tais. Assim devemos subtrair $m$ pontos de concorrência que foram computados a mais:

$i_{p+1;m}\ =\ \dfrac{p(p+1)}{2}\ -\ m$

Tomando $n\ =\ p+1$:

$i_{n;m} = \dfrac{n(n-1)}{2}\ -\ m$

________________________________________

Exemplo:



$n = 3$ e $m = 0$.

$i_{3;0}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 0\ =\ 3$

________________________________________

Exemplo:



$n = 4$ e $m = 3$.

$i_{4;3}\ =\ \dfrac{4\ \cdot\ 3}{2}\ -\ 3\ =\ 3$

________________________________________

Exemplo :



Neste caso especial, inicialmente excluiremos uma não-concorrente:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E posteriormente excluiremos a outra:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E depois somamos os resultados: $2\ +\ 2\ =\ 4$.

Este é um caso em que devemos tratar cada conjunto de não-concorrentes de forma especial.

Um cálculo sobre soma de consecutivos.

Estava a caminhar pela Boa Vista quando olhei para a logomarca da Prefeitura do Recife:

Perguntei-me quantos círculos há. É evidente que são $7$. Mas decidi fazer o cálculo de uma forma diferente:

Imaginemos uma pirâmide formada de círculos em que a base tem $4$ círculos. O número total de círculos será a soma dos termos de uma PA, a soma dos primeiros $4$ inteiros:

Para $m = 4$ temos $S = 10$.

Mas retirando-se a parte superior da pirâmide considerada, teremos $m = 2$ e $S = 3$, de tal forma que o cálculo ficou: