Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $\begin{cases}x,\ \text{se}\ x \in \mathbb{Q}\\ -x,\ \text{se}\ x \not{\in} \mathbb{Q}\end{cases}$. Mostre que $f$ é contínua em $x = 0$ e descontínua para todo $x \neq 0$.

Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $\begin{cases}x,\ \text{se}\ x \in \mathbb{Q}\\ -x,\ \text{se}\ x \not{\in} \mathbb{Q}\end{cases}$. Mostre que $f$ é contínua em $x = 0$ e descontínua para todo $x \neq 0$.

Resolução:

Observemos que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$, logo $f$ é contínua em $x = 0$.

Vamos agora supor que exista um $a \neq 0$ tal que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$, ou seja,

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |f(x) - f(a)| < \epsilon\ \Rightarrow\ |x - a| < \delta$.

Vamos supor que $a$ seja racional.

Tomando $x = a + b,\ (a + b) \not{\in} \mathbb{Q}$ e $\epsilon = |a|$, não existe $\delta$ que satisfaça a condição para um dado $b$ suficientemente pequeno.

Analogamente tomando $a$ irracional e $b$ tal que $(a + b)$ seja racional.

C.Q.D.