Demonstração do primeiro limite fundamental, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.

Demonstração do primeiro limite fundamental, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.

No ciclo trigonométrico, seja $A_1$ a área do triângulo $\Delta AFE$, $A_2$ a área do setor circular $CAE$, $A_3$ a área do triângulo $\Delta ACB$, e $x = m(C\hat{A}E)$.

$A_1 \le A_2 \le A_3\ \Rightarrow\ \dfrac{(\sin x)(\cos x)}{2} \le \dfrac{x}{2} \le \dfrac{\tan x}{2}\ \overset{x \neq 0}{\Rightarrow}$

$\overset{x \neq 0}{\Rightarrow}\ \cos x\ \le\ \dfrac{x}{\sin x}\ \le\ \sec x\ \Rightarrow\ \lim_{x \rightarrow 0} \cos x\ \le\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sin x}\ \le\ \lim_{x \rightarrow 0} \sec x\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 1 \le \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sin x} \le 1$

Pelo teorema do confronto, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$.

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\dfrac{x}{\sin x}} = \dfrac{\lim_{x \rightarrow 0} 1}{\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sin x}}$

Logo, $\fbox{$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$}$.