Calculadora: curva tridimensional por coordenadas paramétrico-polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: as expressões das funções para $\phi$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; quarto: um número real como valor inferior para $t$; quinto: um número real como valor superior para $t$; sexto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: curva por coordenadas paramétrico-polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: um número real como valor inferior; quarto: um número real como valor superior; quinto: a abscissa do centro de expansão radial; sexto: a ordenada do centro de expansão radial; sétimo: o raio de expansão radial; oitavo: a rotação do eixo $Ox$; nono: a rotação do eixo $Oy$; décimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Sabendo que a área do paralelogramo é $24$, encontrar a área da região hachurada.

 

A área do triângulo $\Delta PAB$ é $12$. Seja $a = AB$ a base e $h$ a altura de tal triângulo. $ah = 24$.

Sejam $CD = a' = \dfrac{a}{2}$ e $h' = \dfrac{3}{2} \cdot h$ a base e a altura, respectivamente, do triângulo $\Delta PCD$, $a'h' = 18$. Logo a área do triângulo $\Delta PCD$ é $9$.

Como $\Delta PCD\ \sim\ \Delta PEF$ e a razão de semelhança é $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{3}{2}$, a área de $\Delta PEF$ é $4$. Logo a área da região hachurada é $\fbox{$5$}$.

Se $\log 2 = 0,3$ e $\log 36 = 1,6$, quanto é $\log 3$?

$\log 3 = \log \dfrac{36}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \log 36 - 2\log 2 - \log 3$

 

$2\log 3 = 1,6 - 0,6 = 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\log 3 = 0,5$}$

Encontrar o máximo de $|z + 7 + i|$, sabendo que $|z - 5 - 4i| = 2$.

Se $|z - 5 - 4i| = 2$, os possíveis afixos de $z$ pertencem à circunferência de centro $(5, 4)$ e raio $2$ no plano de Argand-Gauss.

Assim o maior valor de $|z + 7 + i| = r_{max}$ será a maior distância possível do ponto $(-7, -1)$ à tal circunferência:

$r_{max} = 2 + \sqrt{144 + 25} = 2 + 13 = \fbox{$15$}$.

Encontre os valores inteiros de $x$ e $y$, que satisfazem a igualdade $(x + 3)(y - 7) = 21$.

Os fatores podem assumir os valores $(-1, -21)$, $(-3, -7)$, $(-7, -3)$, $(-21, -1)$, $(1, 21)$, $(3, 7)$, $(7, 3)$, e $(21, 1)$.

Logo os possíveis valores para $(x, y)$ são

$\{(-4,-14),\ (-6,0),\ (-10,4),\ (-24,6),\ (-2,28),\ (0,14),\ (4,10),\ (18,8)\}$.

Exercício: pintores trabalhando em conjunto.

Um pintor X pinta $40$ paredes em $6$ dias trabalhando $8$ horas por dia. Um pintor Y pinta $30$ paredes do mesmo tipo que o pintor X em $12$ dias trabalhando $4$ horas por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de $5$ horas por dia, eles irão pintar $700$ paredes em quantos dias?

 

Resolução:

Sendo $P$ a quantidade de paredes pintadas, $d$ a quantidade de dias, e $h$ a quantidade de horas trabalhadas por dia, $P = kdh$, onde $k$ é uma constante dependente do pintor.

Para o pintor X: $40 = 48k_X\ \Rightarrow\ k_X = \dfrac{5}{6}$.

Para o pintor Y: $30 = 48k_Y\ \Rightarrow\ k_Y = \dfrac{5}{8}$.

Trabalhando em conjunto:

$700 = 5D(k_X + k_Y) = D \cdot \dfrac{175}{24}\ \Rightarrow\ D = 96$.

Os dois pintarão as $700$ paredes, ao ritmo de $5$ horas por dia, em $\fbox{$96$ dias}$.

Sendo $m$ um real positivo, reduir $E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{m\sqrt[4]{m^3}}}}$ a um único radical.

$E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{\sqrt[4]{m^7}}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt[8]{m^7}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{\sqrt[8]{m^{23}}}} =$

 

$= \sqrt[5]{m^4\sqrt[24]{m^{23}}} = \sqrt[5]{\sqrt[24]{m^{119}}} = \fbox{$\sqrt[120]{m^{119}}$}$

Qual a maior raiz da equação $x^2 - (2,333\dots)x + (1,333\dots) = 0$?

$2,333\dots = \dfrac{7}{3}$

 

$1,333\dots = \dfrac{4}{3}$

$\Delta = \left(-\dfrac{7}{3}\right)^2 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{49}{9} - \dfrac{48}{9} = \dfrac{1}{9}$

 

$x = \dfrac{\dfrac{7}{3} \pm \dfrac{1}{3}}{2}$

$x = \dfrac{4}{3}\ \vee\ x = 1$

Logo a maior raiz é $\fbox{$\dfrac{4}{3}$}$.

Que valor deve ser acrescentado ao numerador e ao denominador da fração $\dfrac{2}{3}$ para que essa fração tenha um aumento de $25 \%$?

$\dfrac{2 + x}{3 + x} = \dfrac{125}{100} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$

$12 + 6x = 15 + 5x\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 3$}$

Em $U = \mathbb{R}$, resolver $3^{x + 2} + 9^x = 9 + 27^x$.

Seja $y = 3^x$.

$9y + y^2 = 9 + y^3$

 

$y^2 - 9 = y^3 - 9y$

 

$y^2 - 9 = (y^2 - 9)y$

Se $y^2 - 9 = 0$, $y = 3\ \Rightarrow\ x = 1$

Se $y^2 - 9 \neq 0$, $y = 1\ \Rightarrow\ x = 0$

$S = \{0, 1\}$

Em $U = \mathbb{Z}$, resolver $5x - 3(x + 6) = x - 14$.

$5x - 3x - x = 18 - 14$

$x = 4$

Se $x$ é o mínimo múltiplo comum de $60$ e $80$, e $y$ é o máximo divisor comum de $48$ e $56$, qual o valor de $x - y$?

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

 

$80 = 2^4 \cdot 5$

 

$48 = 2^4 \cdot 3$

 

$56 = 2^3 \cdot 7$

 

$x = \text{mmc}(60, 80) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$

 

$y = \text{mdc}(48, 56) = 2^3 = 8$

$x - y = \fbox{$232$}$

Calcular $(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475}$.

$(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475} = [(\sqrt{50} - 7)(\sqrt{50} + 7)]^{475} =$

 

$= (50 - 49)^{475} = 1$.

Coordenadas cúbicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto $P(x, y)$ pertencente a um dos quadrantes ou o ponto $O(0, 0)$, sobre o gráfico da função $f(x) = ax^3$; o par $(a, d)$, em que $d$ é a distância de $O$ a $P$ sobre o gráfico de $f$ é chamado coordenadas cúbica de Antonio Vandré de $P$.

 

$d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + 9a^2 k^4}\ dk$

Exemplo:

 

 

Determine os extremos absolutos, caso existam, da função $f(t) = t + \cot \left(\dfrac{t}{2}\right)$ no intervalo $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

$1 = \dfrac{2\tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}\ \Rightarrow\ \tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\ \wedge\ \tan \left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = 1 - \sqrt{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$

$f\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}}$

$f'(t) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot \csc^2 \left(\dfrac{t}{2}\right)$

$\mathbb{U} = \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]\ \wedge\ f'(t) = 0\ \Rightarrow\ t = \dfrac{\pi}{2}\ \vee\ t = \dfrac{3\pi}{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 1$

$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{2} - 1$

$\dfrac{3\pi}{2} - 1 > \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} > \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}} > \dfrac{\pi}{2} + 1$

Logo os pontos de extremos absolutos são $t = \dfrac{3\pi}{2} - 1$ e $t = \dfrac{\pi}{2} + 1$.

$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx$.

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

$I\ =\ \displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx = \displaystyle\int (\tan x)(\sec x)(\sec^2 x - 1)^3(\sec^4 x)\ dx$

Seja $u = \sec x$, $du = (\tan x)(\sec x) dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int (u^2 - 1)^3 \cdot u^4\ du\ =\ \dfrac{u^{11}}{11} - \dfrac{u^9}{3} + \dfrac{3u^7}{7} - \dfrac{u^5}{5} + c$

$\fbox{$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx\ =\ \dfrac{\sec^{11} x}{11} - \dfrac{\sec^9 x}{3} + \dfrac{3\sec^7 x}{7} - \dfrac{\sec^5 x}{5} + c$}$

Exercício: modelos distintos de um brinquedo caminhão-cegonha.

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

 

 

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo de brinquedo.

 

Com base nessas informações, quantos são os modelos distindos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

Resolução:

Se ao menos um carrinho com todas as cores são necessários, fixemos os quatro primeiros carrinhos, cada um com uma cor distinta, tendo os demais quaisquer combinações.

Assim, teremos ao total, pelo principío fundamental da contagem, $\fbox{$4^6$}$ modelos distintos.

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.

$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.

Quod Erat Demonstrandum.