$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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segunda-feira, 5 de dezembro de 2022

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.


$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.


Quod Erat Demonstrandum.

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