Calculadora: gráfico simétrico de superfície tridimensional por coordenadas polares com relação a um plano.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para "rho", separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as superfícies, devem ser funções em "teta" e "phi"; segundo: o coeficiente de $x$ do plano de referência; terceiro: o coeficiente de $y$ no plano de referência; quarto: o coeficiente de $z$ do plano de referência; quinto: o coeficiente independente do plano de referência; o plano de referência é da forma $ax + by + cz + d = 0$; sexto: "0" para não mostrar o plano de referência e as superfícies originais, ou "1" para mostrar; sétimo: um número real como valor inferior para "teta"; oitavo: um número real como valor superior para "teta"; nono: um número real como valor inferior para "phi"; décimo: um número real como valor superior para "phi"; décimo primeiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

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Calculadora: gráfico simétrico de superfície tridimensional por coordenadas polares com relação a um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para "rho", separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as superfícies, devem ser funções em "teta" e "phi"; segundo: a abscissa do ponto de referência; terceiro: a ordenada do ponto de referência; quarto: a cota do ponto de referência; quinto: "0" para não mostrar os gráficos originais, ou "1" para mostrar; sexto: um número real como valor inferior para "teta"; sétimo: um número real como valor superior para "teta"; oitavo: um número real como valor inferior para "phi"; nono: um número real como valor superior para "phi"; décimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

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Exercício: acomodando uma família nas vagas disponíveis de um avião.

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

 

Qual o número de formas distintas de se acomodar a famínia neste voo?

Associemos as vagas disponíveis às componentes de um vetor de $9$ componentes. Os possíveis valores para as componentes podem ser de $1$ a $8$, com o $8$ representando uma poltrona em branco e devendo se repetir $2$ vezes e os demais valores uma única vez.

Logo, o número de formas distindas de acomodar a família é dado por $\fbox{$\dfrac{9!}{2}$}$.

Igualdade conjunta de Antonio Vandré.

Quando dizemos que $f(x) = g(y)$, $f$ e $g$ são funções, ou seja, podem retornar um único valor. Devido a isto, a relação de igualdade é transitiva, ou seja, $a = b\ \wedge\ b = c\ \Rightarrow\ a = c$.

A propriedade transitiva não pode se manter se $f$ ou $g$ não são funções. Logo devemos utilizar uma outra relação para dizer que uma expressão pode retornar um valor ou outro, a expressão relacionada a estes valores. Tal relação é a "igualdade conjunta de Antonio Vandré", "$\avigual$".

Se $R$ pode ser tanto $a$ quanto $b$, escrevemos $R \avigual a$ ou $R \avigual b$.

Em particular, $R = a\ \Rightarrow\ R \avigual a$.

Posição real dada latência na transmissão da informação.

Seja o plano cartesiano. Seja um observador localizado em $(0, 0)$. Seja $V$ a velocidade de transmissão das informações no plano. Seja $P$ um ponto sobre o gráfico de $f$, uma função diferenciável em $x$, que se desloca a uma velocidade $v(t)$ sobre o gráfico de $f$. $t$ é o tempo.

Seja $(x_r, y_r)$ a posição real de $P$ quando este é observado em $(x_P, y_P)$.

$\begin{cases}x_r \avigual \intsup_{x_P}^{{\scriptsize \displaystyle\int_0^{\dfrac{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}{V}} v(t)\ dt}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\\ \\ y_r = f(x_r)\end{cases}$

 

Notações. Limites superior e inferior de uma integral.

Seja $f$ uma função descontínua em um conjunto finito de pontos. Sejam $a$ e $b$ elementos de seu domínio.

$\intsup_a^S f(x)\ dx\ \avigual\ b\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$

$\intinf_S^b f(x)\ dx\ \avigual\ a\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$

Observemos que os limites não são únicos, por exemplo $\intsup_{\pi/2}^0 \sin x\ dx$ pode ser $\dfrac{3\pi}{2}$ ou $\dfrac{7\pi}{2}$, razão de não ser utilizada a igualdade "$=$", mas a igualdade conjunta de Antonio Vandré $\{=\}$.