Quais os valores de $m$ para que a reta $y = mx + 1$ seja tangente à circunferência $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$?
Resolução:
Chamemos de $r$ a reta considerada, sua forma normal é $r:\ mx - y + 1 = 0$.
A distância de $r$ ao centro da circunferência, $C(2, 2)$, deve ser igual ao raio, ou seja $d_{rC} = 1$.
$\dfrac{|2m - 2 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$ (I)
$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}\ \Rightarrow\ (2m - 1)^2 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 3m^2 - 4m = 0\ \Rightarrow\ m = 0\ \vee\ m = \dfrac{4}{3}$
Como houve uma quadração, deve-se fazer uma verificação para cada valor encontrado na sentença original (I):
$\dfrac{|2 \cdot 0 - 2 + 1|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-1|}{1} = 1$, $0$ satisfaz.
$\dfrac{|2\ \cdot \dfrac{4}{3} - 2 + 1|}{\sqrt{(\dfrac{4}{3})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{8}{3} - 1|}{\dfrac{16}{9} + 1} = \dfrac{|\dfrac{5}{3}|}{\sqrt{25}{9}} = \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}} = 1$, $\dfrac{4}{3}$ satisfaz.
$\fbox{$m \in \{0, \dfrac{4}{3}\}$}$
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
Última atualização estrutural do weblog: 18-05-2024.
Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.
Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.
Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.
Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.
Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.
Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.
Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
sexta-feira, 9 de agosto de 2019
quarta-feira, 7 de agosto de 2019
Calculadora: desvio padrão.
Entre com os números a terem o desvio padrão calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "5, 2.5".
Output: "1.25".
Desvio padrão:
Exemplo:
Input: "5, 2.5".
Output: "1.25".
Desvio padrão:
Calculadora: variância estatística.
Entre com os números a terem a variância estatística calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "5, 2.5".
Output: "1.5625".
Variância estatística:
Exemplo:
Input: "5, 2.5".
Output: "1.5625".
Variância estatística:
Calculadora: desvio absoluto médio.
Entre com os números a terem o desvio absoluto médio calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "3.5, 6".
Output: "1.25".
Desvio absoluto médio:
Exemplo:
Input: "3.5, 6".
Output: "1.25".
Desvio absoluto médio:
terça-feira, 6 de agosto de 2019
Calculadora: encontrar moda estatística.
Entre com os números a terem a(s) moda(s) encontrada(s), separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "-1, 0, 3, -1, 4.5".
Output: "-1".
Moda(s):
Exemplo:
Input: "-1, 0, 3, -1, 4.5".
Output: "-1".
Moda(s):
Calculadora: encontrar fração irredutível.
Entre com a fração a reduzir, numerador e denominador números naturais, o denominador não nulo, separados por barra "/".:
Exemplo:
Input: "234 / 52".
Output: "9 / 2".
Fração irredutível:
Exemplo:
Input: "234 / 52".
Output: "9 / 2".
Fração irredutível:
Calculadora: média aritmética ponderada.
Entre com os pares peso e número a terem a média geométrica calculada, separados por ponto e vírgula ";". Um número é separado do seu peso por vírgula ",", o primeiro elemento do par não nulo. O separador de casas decimais é o ponto ".":
Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".
Média aritmética ponderada:
Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".
Média aritmética ponderada:
Calculadora: média harmônica.
Entre com os números a terem a média harmônica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".
Média harmônica:
Exemplo:
Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".
Média harmônica:
Calculadora: média geométrica.
Entre com os números a terem a média geométrica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".
Média geométrica:
Exemplo:
Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".
Média geométrica:
segunda-feira, 5 de agosto de 2019
Calculadora: calcular mdc.
Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mdc:
Exemplo:
Input: "48, 128, 72".
Output: "8".
mdc:
Exemplo:
Input: "48, 128, 72".
Output: "8".
mdc:
Calculadora: calcular mmc.
Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mmc:
Exemplo:
Input: "24, 9, 13".
Output: "936".
mmc:
Exemplo:
Input: "24, 9, 13".
Output: "936".
mmc:
domingo, 4 de agosto de 2019
Calculadora: calcular expressão numérica.
Entre com a expressão numérica:
Resultado:
Observações:
Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).
Observações:
Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.
Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.
Resultado:
Observações:
Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).
Observações:
Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.
Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.
sábado, 3 de agosto de 2019
Calculadora: decomposição em fatores primos.
Entre com o número natural a decompor:
Exemplo:
Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".
Decomposição:
Exemplo:
Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".
Decomposição:
Calculadora: média aritmética.
Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):
Exemplo:
Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".
Média aritmética:
Exemplo:
Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".
Média aritmética:
sexta-feira, 2 de agosto de 2019
Calculadora: fatorial.
Número a ser calculado o fatorial:
Exemplo:
Input: "5".
Output: "120".
Fatorial:
Exemplo:
Input: "5".
Output: "120".
Fatorial:
Exercício: teorema de D'Alembert.
Qual o valor de $b$ para o qual o polinômio $P(x) = 15x^{16} + bx^{15} + 1$ é divisível por $x - 1$?
Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:
$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$
Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:
$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$
Exercício: valor numérico de um polinômio.
A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?
$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$
Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.
$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$
$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$
$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$
Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.
$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$
$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$
quinta-feira, 1 de agosto de 2019
Exercício: distância de uma intersecção à origem.
Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?
Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:
$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$
$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$
Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:
$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$
$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$
Exercício: intersecção de três retas.
As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?
Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:
$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$
$P$ pertence a $y = b - x$:
$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$
Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:
$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$
$P$ pertence a $y = b - x$:
$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$
Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?
$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\ x_Q = y_Q$
$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$
$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\ x_Q = y_Q$
$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$
Exercício: determinando a equação de uma reta.
Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?
Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.
$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$
Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.
$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$
Exercício: pontos colineares.
Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?
$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:
$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$
$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$
$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$
$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:
$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$
$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$
$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$
Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.
Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?
Seja $P(k, 0)$:
$d_{PA} = d_{PB}$
$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$
$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$
$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$
$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$
Seja $P(k, 0)$:
$d_{PA} = d_{PB}$
$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$
$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$
$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$
$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$
Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.
Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?
Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:
$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$
$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$
$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$
$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$
Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:
$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$
$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$
$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$
$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$
Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.
Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.
Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:
$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$
O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:
$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$
$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$
Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:
$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$
O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:
$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$
$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$
Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.
Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.
Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:
$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$
$a = 2r = 6$
$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$
Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:
$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$
$a = 2r = 6$
$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$
Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.
Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.
Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:
$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$
$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$
$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$
Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:
$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$
$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$
$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$
Exercício: condição para que um número complexo seja real.
Para que valores reais de $k$ o número complexo $(15k - 15) + (k^2 - 9)i$ é real?
A parte imaginária deve ser nula:
$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$
A parte imaginária deve ser nula:
$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$
Exercício: área total de um cone.
A superfície lateral planificada de um cone de revolução é um setor circular de raio $9\ dm$ e de ângulo central de $\dfrac{10\pi}{9}$ radianos. Qual a área total do cone?
Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.
$g = 9$
$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$
$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$
Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.
$g = 9$
$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$
$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$
quarta-feira, 31 de julho de 2019
Exercício: volume de um cone.
Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?
Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$
Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:
$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$
Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$
Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:
$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$
terça-feira, 30 de julho de 2019
Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.
O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?
$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$
$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$
Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.
Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?
Resolução:
Considerando a ordem de chegada dos filhos:
$n(U) = 2^6 = 64$
$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$
$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$
Resolução:
Considerando a ordem de chegada dos filhos:
$n(U) = 2^6 = 64$
$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$
$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$
Assinar:
Postagens (Atom)