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sexta-feira, 27 de maio de 2022
Calculadora: gráfico simétrico de uma função com relação a um ponto.
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segunda-feira, 23 de maio de 2022
Calculadora: intersecções entre duas circunferências.
Exemplo:
Input: "0; 0; 1 | 3; 0; 2".
Output: "1, 0".
Intersecções entre as circunferências:
terça-feira, 17 de maio de 2022
segunda-feira, 16 de maio de 2022
Sejam $U$ e $W$ subespaços de dimensões finitas de um espaço vetorial $V$, mostre que $dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$.
Sejam $\{u_1, \dots , u_m\}$ uma base de $U$ e $\{w_1, \dots , w_n\}$ uma base de $W$, $\{u_1,\dots , u_m, w_1,\dots ,w_n\}$ gera $U + W$.
Seja $\{u_{i_1}, \dots , u_{i_p}, w_{j_1}, \dots , w_{j_q}\}$ um subconjunto independente maximal de $U + W$, logo
$\bullet$ $dim\ (U + W)\ =\ p + q$
e, além disto,
$\{u_{i_{p+1}}, \dots , u_{i_m}, w_{j_{q+1}}, w_{j_n}\}$ é uma base de $U \cap W$, logo
$\bullet$ $dim\ (U \cap W) = m - p + n - q$.
Como $p + q = m + n - (m - p + n - q)$,
$\fbox{$dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$}$.
Quod Erat Demonstrandum.
Calculadora: intersecções entre uma reta e uma circunferência.
Exemplo:
Input:
"tg(2); fatorial(3); 3 | -log(10, 2); 2; 4".
Output:
"
-4.659751425365828, -4.696957102885669
-1.52247163510813, -3.554443535566035
".
Intersecções entre a reta e a circunferência:
Calculadora: intersecção entre duas retas.
Exemplos:
Input: "1; 1; 0 | -1; 1; 3". Output: "3 / 2, -3 / 2".
Input: "pi; euler; 4 | 5; log(10, 2); 1". Output: "3.34977667, -5.342946278".
Intersecção das retas:
sexta-feira, 13 de maio de 2022
Calculadora: área da projeção de um triângulo em um plano.
Exemplo:
Input: "2; pi; 1 | 2; 1; cos(3) | 2; 0; 0 || 3; 4; 5; log(3, 2)". Output: aproximadamente "0.8718951502761744".
Área do triângulo projetado:
Calculadora: área de um triângulo no espaço.
Exemplo:
Input: "2; 0; 1 | 2; 1; 0 | 2; 0; 0". Output: aproximadamente "1 / 2".
Área do triângulo:
quinta-feira, 12 de maio de 2022
Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em um plano.
Exemplo:
Input: "1; 2; 3 | 3; 2; 3 || 0; 0; 1; 5". Output: "2".
Comprimento da projeção do segmento no plano:
Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em uma reta.
Exemplo:
Input: "1; 2 | 3; 2 || 0; 1; 5". Output: "2".
Comprimento da projeção do segmento na reta:
quarta-feira, 11 de maio de 2022
Calculadora: ângulo entre dois vetores.
Exemplos:
Input: "0; 1 | 1; 0 || g". Output: aproximadamente "90".
Input: "0; pi; euler | cos(2); 3; log(5, 2) || r". Output: aproximadamente "0.12210119420839927".
Ângulo entre os dois vetores:
Calculadora: ponto simétrico com relação a um plano.
Exemplo:
Input: "1; 3; 4 | -1; 1; 2; 5". Output: "6, -2, -6".
Ponto simétrico com relação ao plano:
Calculadora: projeção de um ponto em um plano.
Exemplo:
Input: "1; 3; 4 | -1; 1; 2; 5". Output: "7 / 2, 1 / 2, -1".
Projeção do ponto no plano:
Calculadora: projeção de um ponto em uma reta.
Exemplo:
Input: "1; 3 | -1; 1; 0". Output: "2, 2".
Projeção do ponto na reta:
terça-feira, 10 de maio de 2022
Calculadora: menor bola que contém os pontos dados.
Inequação cartesiana da menor bola que contém os pontos dados:
segunda-feira, 9 de maio de 2022
Calculadora: menor círculo que contém os pontos dados.
Inequação cartesiana do menor círculo que contém os pontos dados:
domingo, 8 de maio de 2022
Permutações circulares.
Sejam $n$ objetos distintos dispostos ao redor de um círculo, de quantas formas distintas podemos os organizar ao redor do círculo?
Numerando de $1$ a $n$ as posições, teremos $n!$ formas de dispor os objetos; no entanto, como estão ao redor de um círculo podemos ter "shifts" de modo que a disposição circular será mantida, podemos ter $n$ "shifts".
Ou seja, teremos $\dfrac{n!}{n} = \fbox{$(n - 1)!$}$ disposições circulares distintas.
sábado, 7 de maio de 2022
Mostre que duas matrizes equivalentes por linhas tem o mesmo espaço de linhas.
Seja $L$ tal espaço de linhas. Se $\displaystyle\sum a_iA_i\ \in\ L$:
$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + a_jA_j + a_{j-1}A_{j-1} + \dots\ \in\ L$ ${\large (I)}$,
$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + ba_jA_j + \dots\ \in\ L$ ${\large (II)}$,
$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + \left(ba_jA_j + a_kA_k\right) + \dots\ \in\ L$ ${\large (III)}$.
Ou seja, se duas matrizes são obtidas uma da outra por combinações das operações elementares, a saber, ${\large (I)}$, permutação, ${\large (II)}$, multiplicação por escalar, e ${\large (III)}$, substituição de uma linha por a soma desta com um múltiplo de uma outra, tem o mesmo espaço de linhas.
Quod Erat Demonstrandum.
Mostre que, se removermos uma linha de uma matriz escalonada, ela continuará escalonada.
Sejam $a_{1j_1}, a_{2j_2}, \dots, a_{nj_n}$ os elementos distinguidos da matriz escalonada, logo $j_1 < j_2 < \dots < j_n$.
Retirando o elemento da $i$-ésima linha, teremos uma nova matriz cujos elementos distinguidos são
$a_{1j_1}, \dots, a_{(i-1)j_{i-1}}, a_{(i+1)j_{i+1}}, \dots, a_{nj_n}$
de modo que
$j_1 < \dots < j_{i-1} < j_{i+1} < \dots < j_n$.
Logo a nova matriz também será escalonada.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $F$ o espaço vetorial de todas as funções reais, $P$ o subespaço vetorial das funções pares, e $I$ o subespaço das funções ímpares, mostrar que $F = P \oplus I$.
Seja $i$ um elemento de $I$, existe um elemento de $f$ de $F$ tal que $f - p = i$, $p$ um elemento de $P$.
$p(x) = p(-x)\ \Rightarrow\ f(x) - f(-x) = i(x) - i(-x)$
Como $f(x) - f(-x)$ existe, $i(x)$ existe. Como $f$ é função de $i$, $i$ é único.
Quod Erat Demonstrandum.
domingo, 1 de maio de 2022
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1}$.
Afim de decompor $\dfrac{1}{x^5 + 1}$ em frações parciais, calculemos as raízes quintas de $-1$, que estão graficamente representadas abaixo:
Logo $\dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{Cx + D}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{E}{x + 1}$. ${\large (I)}$
Donde, resolvendo o sistema:
${\tiny \begin{cases}B + D + E = 1\\ \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[4 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[4 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[30 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[15 - 12\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 - 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 - 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[120 - 72\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C + \left[40 - 24\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[10 - 6\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[10 - 6\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\\ \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]A - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]B + \left[10 + 8\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]C - \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]D + \left[5 + 4\cos \left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right]\left[5 + 4\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right]E = 1\end{cases}}$,
obtemos:
${\tiny \begin{cases}A = \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ B = -\dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ C = -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ D = \dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}\\ E = -\dfrac{3}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30}\end{cases}}$. ${\large (II)}$
De ${\large (I)}$ obtemos:
${\tiny \dfrac{1}{x^5 + 1} = \dfrac{A}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{B + A\cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{C}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos \dfrac{3\pi}{5}}{x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{5}\right)x + 1} + \dfrac{D + C\cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin^2 \dfrac{3\pi}{5}} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}\right)^2 + 1} + \dfrac{E}{x + 1}}$. ${\large (III)}$
Substituindo ${\large (II)}$ em ${\large (III)}$:
$\fbox{$\begin{array}{l}{\tiny \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^5 + 1} \overset{x\ \neq\ \cos \dfrac{\pi}{5}}{=} \dfrac{\left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right] } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{\pi}{5}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny \dfrac{\dfrac{\cos{ \dfrac{\pi }{5} } \left[ \left( 24 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+32 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+170 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right] }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }} - \dfrac{\left( 288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-200\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}+592 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}{\left(\sin \dfrac{\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}}} -} \\ \\ {\tiny -\dfrac{\left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285}{2 \left[ \left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right] \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }\right) } \log \left|x^2 - \left(2\cos \dfrac{3\pi}{2}\right)x + 1\right| +}\\ \\ {\tiny +\dfrac{\dfrac{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 420 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+592\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }-285}{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\cos{ \dfrac{3 \pi }{5} } \left( \left( 24 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+32\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 92 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+170\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+200 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+285\right) }{\left( 288 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+480\right) {\cos^2 { \dfrac{3 \pi }{5} }}+\left( 720-288 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }-480 {\cos^2 { \dfrac{\pi }{5} }}-720 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }}}}}{\left(\sin \dfrac{3\pi}{5}\right) ⋅ \arctan^{-1} \dfrac{x - \cos \dfrac{3\pi}{5}}{\sin \dfrac{3\pi}{5}}} -}\\ \\ {\tiny -\dfrac{3 \log \left|x + 1\right|}{\left( 12 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+20\right) \cos{ \dfrac{3 \pi }{5} }+20 \cos{ \dfrac{\pi }{5} }+30} + c}\\ \\ {\tiny c\ \in\ \mathbb{R}}\end{array}$}$.