Calculadora: coordenadas do ortocentro de um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices não colineares do triângulo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".




Ortocentro:

Calculadora: distância por triangulação.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", um valor para $\alpha$, um valor para $\beta$, um valor para $d$, e um valor para $x$.

Exemplo:

Input: "pi/6; pi/3; 1; sqrt(3)/2".

Output: aproximadamente "0.6751084105090466".




Distância de $S$ a $R$:

Distância por triangulação.

Sejam $\alpha$ o primeiro ângulo, $\beta$ o segundo ângulo, $d$ a distância entre os pontos $P$ e $Q$, $x$ o deslocamento na reta $\overleftrightarrow{PQ}$. Encontremos a distância $D$ entre $R$ e o ponto $S$ no segmento $\overline{PQ}$.

$m\left(\overline{QR}\right) = m\left(\overline{PR}\right) \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}$

${\scriptsize \left[m\left({\overline{PR}}\right)\right]^2 + x^2 - 2x \cdot \left[m\left({\overline{PR}}\right)\right]\cos \alpha = \left[m\left({\overline{PR}}\right)\right]^2 \cdot \left(\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\right)^2 + (d - x)^2 - 2(d - x)\left[m\left({\overline{PR}}\right)\right] \cdot \left(\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\right)\cos \beta}$

Utilizando um software CAS, encontramos um $m\left({\overline{PR}}\right)$ positivo.

$\fbox{$D = \sqrt{\left[m\left({\overline{PR}}\right)\right]^2 + x^2 - 2x\left[m\left({\overline{PR}}\right)\right]\cos \alpha}$}$

Probabilidade de, em um hexágono, escolher um triângulo equilátero.

Aleatoriamente escolhem-se $3$ dos $6$ vértices de um hexágono regular. Qual a probabilidade dos vértices escolhidos formarem um triângulo equilátero?

$n(U) = \displaystyle{6 \choose 3} = 20$

Seja $A$ o evento dos vértices formarem um triângulo equilátero.

$n(A) = 2$

$P(A) = \dfrac{2}{20} = 10\%$

Largura de uma calçada em torno de um jardim.

Um pedreiro demora um certo tempo para construir um jardim circular de raio $10\ m$. Em volta do jardim demora um tempo $44 \%$ menor para construir uma calçada circular em torno do jardim. Se o tempo de construção for diretamente proporcional à área a construir, determinar a largura da calçada.

O jardim tem $100\pi$ de área. Sendo $\ell$ a largura procurada, a calçada terá uma área de $(10 + \ell)^2 \pi - 100\pi$.

Se o tempo de construção da calçada foi $0,56$ do tempo de construção do jardim:

$(10 + \ell)^2 \pi - 100\pi = 56\pi\ \Rightarrow\ \ell^2 + 20\ell - 56 = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$\ell = 2\sqrt{39} - 10$}$.

Qual o volume de um cone equilátero de geratriz $6\sqrt{3}$?

$r = \dfrac{g}{2} = 3\sqrt{3}$, $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot g = 9$.

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{243\pi }{3} = \fbox{$81\pi$}$

Determinar $a$ de modo que $r:\ ax + 3y - 7 = 0$ e $s:\ 10x - 6y + 13 = 0$ são retas paralelas.

$\dfrac{a}{3} = -\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \fbox{$a = -5$}$

Calculadora: ponto simétrico a uma reta.

Entre com os argumentos, separados por barra vertical "|": primeiro: o ponto com abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";"; segundo: os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da reta $ax + by + c = 0$, separados por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "0; 3 | -1; 1; 0". Output: "3, 0".




Ponto simétrico à reta:

Os lados de um triângulo medem $5\ cm$, $7\ cm$ e $8\ cm$. Qual a medida da mediana relativa ao maior lado?

Seja $\theta$ o ângulo adjacente aos lados de medida $5$ e $8$:

$49 = 25 + 64 - 80\cos \theta\ \therefore\ \theta = \arccos \dfrac{1}{2}$.

Seja $m$ a medida da mediana relativa ao maior lado:

$m^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \dfrac{1}{2}\ \therefore\ \fbox{$m = \sqrt{21}\ cm$}$.

Calculadora: área de um polígono convexo.

Entre com um número finito de vértices consecutivos separados por barra vertical "|", a abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "0; 0 | 0; 1 | 1; 1 | 1; 0". Output: "1".




Área:

A elipse $x^2 + \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{9}{4}$ e a reta $y = 2x + 1$ interceptam-se nos pontos $A$ e $B$. Qual o ponto médio de $\overline{AB}$?

$x^2 + 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4}$

$12x^2 + 8x - 7 = 0$

$(x, y) = \left(-\dfrac{7}{6}, -\dfrac{4}{3}\right)\ \vee\ (x, y) = \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AB}$. $\fbox{$M = \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$}$.

Calculadora: Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda a abscissa do ponto de referência, a terceira a ordenada do ponto de referência, e a quarta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "2; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "1".




Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximado):

Ponto Cego de Antonio Vandré.

Sejam os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$, e um ponto $(a, b)$ entre um ponto de $f$ e um ponto de $g$, definimos "Ponto Cego de Antonio Vandré" um ponto de $g$ pertencente à reta definida por um ponto de $f$ e $(a, b)$.

Chamemos de $x_o$ ($x_o \neq a$) a abscissa do ponto objeto, um ponto de $f$, a reta definida por $(a, b)$ e este ponto é $y = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$.

Chamemos $x_i$ a abscissa do ponto imagem, um ponto de $g$ pertencente à reta.

Se $x_o = a$ e $g$ estiver definida em $x_o$, $x_i = x_o$. Caso contrário:

$\fbox{$g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a,\ min(x_o, x_i) < a < max(x_o, x_i)$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = 0$, $g(x) = 2$ e $(a, b) = (0, 1)$, para $x_o = 1$:

$2 = -x_i + 1 + 1 \cdot 0\ \Rightarrow\ x_i = -1$.

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "x; 0; 5; 20". Output: aproximadamente "7.071067811865478".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):

Calculadora: estatísticas de um polígono regular.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte o número de lados do polígono; na segunda parte entre com o valor do lado do polígono.

Exemplo:

Input: "4; 2".

Output: aproximadamente

"
Quadrado.

Perímetro: 8.

Apótema: 1.

Raio da circunferência circunscrita: 1.414213562373095.

Área: 4.

Medida dos ângulos internos: 90 graus.

Medida dos ângulos externos: 90 graus.

Área do círculo inscrito: 3.141592653589793.

Área do círculo circunscrito: 6.2831853071795845.

Razão entre as áreas do polígono e do círculo inscrito: 1.2732395447351628.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do polígono 1.5707963267948961.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito 2.

".




Estatísticas do polígono regular, aproximadas:

Calculadora: equação da reta tangente.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte a expressão da função, deve ser uma função em "x"; na segunda parte entre com um valor do domínio de tal função.

Exemplo:

Input: "sen(x); pi".
Output: aproximadamente "y = -x + 3.141592653589793".




Equação da reta tangente (aproximada):

Calculadora: gráfico de uma curva ou região por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$ e $y$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: a abscissa do centro de expansão radial; sétimo: a ordenada do centro de expansão radial; oitavo: o raio de expansão radial; nono: a rotação do eixo $Ox$; décimo: a rotação do eixo $Oy$; décimo primeiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: