Obter a derivada de $f(x) = 3\sqrt{x} + 5\sqrt[3]{x} + 10$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Considerações sobre o comprimento da senoide.

O comprimento da senoide é dado por $S = 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + \cos^2 x}\ dx$.

Notemos que $0 \le \cos^2 x \le 1$, logo $4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1}\ dx\ \le\ S\ \le\ 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + 1}\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$2\pi \le S \le 2\sqrt{2}\pi$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4}$}$

Seja $f(x) = 2|x|$, mostre que não existe $f'(0)$.

Seja $L_1 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{2(x + h) - 2x}{h}$, $L_1 = 2$.

Seja $L_2 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-2(x + h) + 2x}{h}$, $L_2 = -2$.

Como $L_1 \neq L_2$, $\not{\exists}\ f'(0)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Mostre que $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

$x^4 < x^4 + 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^4}\ \overset{x \ge 1}{\Rightarrow}\ 0 < \dfrac{x}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^3}$

Como $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^3}$ converge, pelo critério da comparação, $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: comprimento de uma curva tridimensional por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: a expressão da função para $z$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; quarto: um número real como valor inferior para $t$; quinto: um número real como valor superior para $t$; sexto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo: entre com: "cos(t); sen(t); t; 0; 2*pi; 100".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva tridimensional no intervalo (aproximado):

Calculadora: comprimento de uma curva por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: um número real como valor inferior para $t$; quarto: um número real como valor superior para $t$; quinto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "cos(t); sen(t); 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva no intervalo (aproximado):

Comprimento de uma curva tridimensional dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$, $g(t)$ e $h(t)$ três funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2 + \left[h(t_{i+1}) - h(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$, $t_{k_2}$, e $t_{k_3}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$, $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_3} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2 + \left[h'(t_{k_3})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2 + \left[h'(t)\right]^2}\ dt$}$

Comprimento de uma curva dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$ e $g(t)$ duas funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$ e $t_{k_2}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2}\ dt$}$

Exemplo: sejam $f(t) = \cos t$, $g(t) = \sin t$, $a = 0$ e $b = 2\pi$ (o ciclo trigonométrico):

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}\ dt = \left.t\right|_0^{2\pi} = 2\pi$.

Comprimento da espiral de Arquimedes.

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{(\cos \theta - \theta\sin \theta)^2 + (\sin \theta + \theta\cos \theta)^2}\ d\theta = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \theta^2}\ d\theta$

 

Seja $\theta = \tan \varphi$, $d\theta = \sec^2 \varphi\ d\varphi$.

 

$C = \displaystyle\int_0^{\arctan 2\pi} \sec^3 \varphi\ d\varphi = \fbox{$\dfrac{2\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \log\left(2\pi + \sqrt{4\pi^2 + 1}\right)}{2}$}$

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função em coordenadas polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "teta"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "1; 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):