$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quinta-feira, 2 de março de 2023

Seja $x_n = 9 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2}$, demonstre que $\lim x_n = 9$.

Devemos mostrar que existe um $n_0$ tal que $|x_n - 9| < \epsilon$ para todo $n > n_0$ para todo $\epsilon > 0$.


$\left|\cancel{9} + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2} - \cancel{9}\right| < \epsilon\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{5n^2} < \epsilon\ \Rightarrow\ n > \dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$


Como $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$ existe para todo $\epsilon$, basta tomar $n_0$ o menor inteiro maior que $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$, e assim $\lim x_n = 9$.


Quod Erat Demonstrandum.

sábado, 28 de janeiro de 2023

Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^6 + 5x^3} - x^3\right)$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\cancel{x^6} + 5x^3 - \cancel{x^6}}{\sqrt{x^6 + 5x^3} + x^3}\right) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{\dfrac{x^6 + 5x^3}{x^6}} + \dfrac{x^3}{x^3}}\right) =$

 

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{1 + \cancelto{0}{\dfrac{5}{x^3}}} + 1}\right) = \fbox{$\dfrac{5}{2}$}$

domingo, 11 de dezembro de 2022

Determine os extremos absolutos, caso existam, da função $f(t) = t + \cot \left(\dfrac{t}{2}\right)$ no intervalo $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

$1 = \dfrac{2\tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}\ \Rightarrow\ \tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\ \wedge\ \tan \left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = 1 - \sqrt{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$

$f\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}}$


$f'(t) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot \csc^2 \left(\dfrac{t}{2}\right)$


$\mathbb{U} = \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]\ \wedge\ f'(t) = 0\ \Rightarrow\ t = \dfrac{\pi}{2}\ \vee\ t = \dfrac{3\pi}{2}$


$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 1$


$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{2} - 1$


$\dfrac{3\pi}{2} - 1 > \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} > \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}} > \dfrac{\pi}{2} + 1$


Logo os pontos de extremos absolutos são $t = \dfrac{3\pi}{2} - 1$ e $t = \dfrac{\pi}{2} + 1$.

sábado, 10 de dezembro de 2022

$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx$.

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$


$I\ =\ \displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx = \displaystyle\int (\tan x)(\sec x)(\sec^2 x - 1)^3(\sec^4 x)\ dx$


Seja $u = \sec x$, $du = (\tan x)(\sec x) dx$.


$I\ =\ \displaystyle\int (u^2 - 1)^3 \cdot u^4\ du\ =\ \dfrac{u^{11}}{11} - \dfrac{u^9}{3} + \dfrac{3u^7}{7} - \dfrac{u^5}{5} + c$


$\fbox{$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx\ =\ \dfrac{\sec^{11} x}{11} - \dfrac{\sec^9 x}{3} + \dfrac{3\sec^7 x}{7} - \dfrac{\sec^5 x}{5} + c$}$

sábado, 22 de outubro de 2022

Posição real dada latência na transmissão da informação.

Seja o plano cartesiano. Seja um observador localizado em $(0, 0)$. Seja $V$ a velocidade de transmissão das informações no plano. Seja $P$ um ponto sobre o gráfico de $f$, uma função diferenciável em $x$, que se desloca a uma velocidade $v(t)$ sobre o gráfico de $f$. $t$ é o tempo.


Seja $(x_r, y_r)$ a posição real de $P$ quando este é observado em $(x_P, y_P)$.


$\begin{cases}x_r \avigual \intsup_{x_P}^{{\scriptsize \displaystyle\int_0^{\dfrac{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}{V}} v(t)\ dt}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\\ \\ y_r = f(x_r)\end{cases}$



 

Notações. Limites superior e inferior de uma integral.

Seja $f$ uma função descontínua em um conjunto finito de pontos. Sejam $a$ e $b$ elementos de seu domínio.

$\intsup_a^S f(x)\ dx\ \avigual\ b\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$

$\intinf_S^b f(x)\ dx\ \avigual\ a\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$


Observemos que os limites não são únicos, por exemplo $\intsup_{\pi/2}^0 \sin x\ dx$ pode ser $\dfrac{3\pi}{2}$ ou $\dfrac{7\pi}{2}$, razão de não ser utilizada a igualdade "$=$", mas a igualdade conjunta de Antonio Vandré $\{=\}$.

quarta-feira, 19 de outubro de 2022

Taxa de variação da área de um triângulo dada a taxa de variação de um dos lados.

Seja a fórmula de Herão $A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ para o cálculo da área; seja, sem perda de generalidade o lado de medida $a$ que varia a uma velocidade $v$, ou seja, $a = vt + a_0$.


$p = \dfrac{vt + a_0 + b + c}{2}$


${\tiny \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{[v(-vt - a_0 + b + c) - v(vt + a_0 + b + c)](vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c) + (vt + a_0 + b + c)(- vt - a_0 + b + c)[v(vt + a_0 - b + c) + v(vt + a_0 + b - c)]}{8\sqrt{(vt + a_0 + b + c)(-vt - a_0 + b + c)(vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c)}}}$,


com $b + c > vt + a_0$ e $vt + a_0 > |b - c|$.

 


quinta-feira, 1 de setembro de 2022

Obter a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$ em $x_0 = 3$.

$f(3) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$


$f'(x) = \dfrac{\cancel{x} + 3 - \cancel{x} + 1}{x^2 + 6x + 9}$


$f'(3) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$


Logo a equação da reta procurada será $\fbox{$y - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}(x - 3)$}$.

quinta-feira, 7 de julho de 2022

Fórmula da integração por partes.

Pela fórmula do produto para derivadas, $(h \cdot g)'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x)$.


Seja $f(x) = h'(x)$ e $F$ a primitiva de $f$.


$\displaystyle\int (F \cdot g)'(x)\ dx\ =\ \displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ +\ \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ =\ F(x)g(x) - \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx$}$

quarta-feira, 6 de julho de 2022

terça-feira, 5 de julho de 2022

Demonstração da regra do quociente para derivadas.

Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.


Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo


$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.

 

Quod Erat Demonstrandum.

segunda-feira, 4 de julho de 2022

Demonstração da regra do produto para derivadas.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,


$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$

 

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$


$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.


Quod Erat Demonstrandum.

domingo, 3 de julho de 2022

Demonstração da regra da cadeia.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,


$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} =  \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;


$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.


Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.

 

$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$


$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$


Quod Erat Demonstrandum.

sexta-feira, 1 de julho de 2022

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ no ponto $x_0 = 5$.

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\ \Rightarrow\ \fbox{$f'(5) = -\dfrac{1}{25}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \log (x^2 - 3x + 6)$.

Utilizando a regra da cadeia, $\fbox{$f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x + 6}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{(x^2 - 3x - 2)^5}$.

Utilizando a regra do quociente, $\left[\dfrac{g(x)}{h(x)}\right]' = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$,


$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{5(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 2)^6}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = x \sin x$.

Utilizando a regra do produto: $[g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$,


$\fbox{$f'(x) = \sin x\ +\ x\cos x$}$.