Calculadora: curva tridimensional por coordenadas paramétrico-polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: as expressões das funções para $\phi$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; quarto: um número real como valor inferior para $t$; quinto: um número real como valor superior para $t$; sexto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: curva por coordenadas paramétrico-polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: um número real como valor inferior; quarto: um número real como valor superior; quinto: a abscissa do centro de expansão radial; sexto: a ordenada do centro de expansão radial; sétimo: o raio de expansão radial; oitavo: a rotação do eixo $Ox$; nono: a rotação do eixo $Oy$; décimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Sabendo que a área do paralelogramo é $24$, encontrar a área da região hachurada.

 

A área do triângulo $\Delta PAB$ é $12$. Seja $a = AB$ a base e $h$ a altura de tal triângulo. $ah = 24$.

Sejam $CD = a' = \dfrac{a}{2}$ e $h' = \dfrac{3}{2} \cdot h$ a base e a altura, respectivamente, do triângulo $\Delta PCD$, $a'h' = 18$. Logo a área do triângulo $\Delta PCD$ é $9$.

Como $\Delta PCD\ \sim\ \Delta PEF$ e a razão de semelhança é $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{3}{2}$, a área de $\Delta PEF$ é $4$. Logo a área da região hachurada é $\fbox{$5$}$.

Se $\log 2 = 0,3$ e $\log 36 = 1,6$, quanto é $\log 3$?

$\log 3 = \log \dfrac{36}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \log 36 - 2\log 2 - \log 3$

 

$2\log 3 = 1,6 - 0,6 = 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\log 3 = 0,5$}$

Encontrar o máximo de $|z + 7 + i|$, sabendo que $|z - 5 - 4i| = 2$.

Se $|z - 5 - 4i| = 2$, os possíveis afixos de $z$ pertencem à circunferência de centro $(5, 4)$ e raio $2$ no plano de Argand-Gauss.

Assim o maior valor de $|z + 7 + i| = r_{max}$ será a maior distância possível do ponto $(-7, -1)$ à tal circunferência:

$r_{max} = 2 + \sqrt{144 + 25} = 2 + 13 = \fbox{$15$}$.

Encontre os valores inteiros de $x$ e $y$, que satisfazem a igualdade $(x + 3)(y - 7) = 21$.

Os fatores podem assumir os valores $(-1, -21)$, $(-3, -7)$, $(-7, -3)$, $(-21, -1)$, $(1, 21)$, $(3, 7)$, $(7, 3)$, e $(21, 1)$.

Logo os possíveis valores para $(x, y)$ são

$\{(-4,-14),\ (-6,0),\ (-10,4),\ (-24,6),\ (-2,28),\ (0,14),\ (4,10),\ (18,8)\}$.

Exercício: pintores trabalhando em conjunto.

Um pintor X pinta $40$ paredes em $6$ dias trabalhando $8$ horas por dia. Um pintor Y pinta $30$ paredes do mesmo tipo que o pintor X em $12$ dias trabalhando $4$ horas por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de $5$ horas por dia, eles irão pintar $700$ paredes em quantos dias?

 

Resolução:

Sendo $P$ a quantidade de paredes pintadas, $d$ a quantidade de dias, e $h$ a quantidade de horas trabalhadas por dia, $P = kdh$, onde $k$ é uma constante dependente do pintor.

Para o pintor X: $40 = 48k_X\ \Rightarrow\ k_X = \dfrac{5}{6}$.

Para o pintor Y: $30 = 48k_Y\ \Rightarrow\ k_Y = \dfrac{5}{8}$.

Trabalhando em conjunto:

$700 = 5D(k_X + k_Y) = D \cdot \dfrac{175}{24}\ \Rightarrow\ D = 96$.

Os dois pintarão as $700$ paredes, ao ritmo de $5$ horas por dia, em $\fbox{$96$ dias}$.

Sendo $m$ um real positivo, reduir $E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{m\sqrt[4]{m^3}}}}$ a um único radical.

$E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{\sqrt[4]{m^7}}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt[8]{m^7}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{\sqrt[8]{m^{23}}}} =$

 

$= \sqrt[5]{m^4\sqrt[24]{m^{23}}} = \sqrt[5]{\sqrt[24]{m^{119}}} = \fbox{$\sqrt[120]{m^{119}}$}$

Qual a maior raiz da equação $x^2 - (2,333\dots)x + (1,333\dots) = 0$?

$2,333\dots = \dfrac{7}{3}$

 

$1,333\dots = \dfrac{4}{3}$

$\Delta = \left(-\dfrac{7}{3}\right)^2 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{49}{9} - \dfrac{48}{9} = \dfrac{1}{9}$

 

$x = \dfrac{\dfrac{7}{3} \pm \dfrac{1}{3}}{2}$

$x = \dfrac{4}{3}\ \vee\ x = 1$

Logo a maior raiz é $\fbox{$\dfrac{4}{3}$}$.

Que valor deve ser acrescentado ao numerador e ao denominador da fração $\dfrac{2}{3}$ para que essa fração tenha um aumento de $25 \%$?

$\dfrac{2 + x}{3 + x} = \dfrac{125}{100} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$

$12 + 6x = 15 + 5x\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 3$}$

Em $U = \mathbb{R}$, resolver $3^{x + 2} + 9^x = 9 + 27^x$.

Seja $y = 3^x$.

$9y + y^2 = 9 + y^3$

 

$y^2 - 9 = y^3 - 9y$

 

$y^2 - 9 = (y^2 - 9)y$

Se $y^2 - 9 = 0$, $y = 3\ \Rightarrow\ x = 1$

Se $y^2 - 9 \neq 0$, $y = 1\ \Rightarrow\ x = 0$

$S = \{0, 1\}$

Em $U = \mathbb{Z}$, resolver $5x - 3(x + 6) = x - 14$.

$5x - 3x - x = 18 - 14$

$x = 4$

Se $x$ é o mínimo múltiplo comum de $60$ e $80$, e $y$ é o máximo divisor comum de $48$ e $56$, qual o valor de $x - y$?

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

 

$80 = 2^4 \cdot 5$

 

$48 = 2^4 \cdot 3$

 

$56 = 2^3 \cdot 7$

 

$x = \text{mmc}(60, 80) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$

 

$y = \text{mdc}(48, 56) = 2^3 = 8$

$x - y = \fbox{$232$}$

Calcular $(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475}$.

$(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475} = [(\sqrt{50} - 7)(\sqrt{50} + 7)]^{475} =$

 

$= (50 - 49)^{475} = 1$.

Coordenadas cúbicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto $P(x, y)$ pertencente a um dos quadrantes ou o ponto $O(0, 0)$, sobre o gráfico da função $f(x) = ax^3$; o par $(a, d)$, em que $d$ é a distância de $O$ a $P$ sobre o gráfico de $f$ é chamado coordenadas cúbica de Antonio Vandré de $P$.

 

$d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + 9a^2 k^4}\ dk$

Exemplo: