Encontre $I\ =\ \int (e^{-x} + 4^x) dx$.

$I\ =\ \underset{I_1}{\underbrace{\int e^{-x} dx}} + \underset{I_2}{\underbrace{\int 4^x dx}}$

Seja $u = -x$, $du = -dx$.

$I_1 = -\int e^u du = -e^u + c_1 = -e^{-x} + c_1$

$I_2 = \int e^{x \log 4} dx$

Seja $v = x \log 4$, $dv = (\log 4) dx$.

$I_2 = \dfrac{1}{\log 4} \int e^v dv = \dfrac{e^v}{\log 4} + c_2 = \dfrac{4^x}{\log 4} + c_2$

Logo $\fbox{$I = -e^{-x} + \dfrac{4^x}{\log 4} + c$}$.

Resolva a equação $A_{3n+3,n+2} = 15 \cdot A_{3n+2,n+1}$.

$\dfrac{(3n+3)!}{[(3n+3)-(n+2)]!} = \dfrac{15(3n+2)!}{[(3n+2)-(n+1)]!}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \dfrac{3n+3}{(2n+1)!} = \dfrac{15}{(2n+1)!}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 3n + 3 = 15\ \Rightarrow \fbox{$n = 4$}$

Descontinuidade da função característica dos racionais.

Mostre que a função \textit{característica dos racionais}, definida por

$\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \begin{cases}1,\text{ se }x \in \mathbb{Q}\\0,\text{ se }x \not{\in} \mathbb{Q}\end{cases}$

é descontínua em todos os pontos.

Resolução:

Vamos supor que existe um $p$ tal que $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é contínua em $p$, ou seja, $\lim_{x \rightarrow p} \mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) = \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)$, ou seja, pela definição de limite, $\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ :\ |x - p| < \delta\ \Rightarrow\ |\mathcal{X}_\mathbb{Q}(x) - \mathcal{X}_\mathbb{Q}(p)| < \epsilon$.

Seja $p$ racional, Se $x$ for irracional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Analogamente, se $p$ é irracional, e se $x$ for racional, não existe $\delta$ para $\epsilon = \dfrac{1}{2}$.

Logo, por absurdo, $\mathcal{X}_\mathbb{Q}$ é descontínua em todos os pontos.

Encontre $I\ =\ \int \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x} dx$.

$\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x}\ =\ 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x - 1}$

$\fbox{$I\ =\ x - \log |x| + 2\log |x - 1| + c$}$

Sabendo que $f'(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 11}$ e que $f(1) = 0$, qual o valor de $f(0)$?

$\int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 4 + 7} dx\ =\ \int \dfrac{x + 2}{(x + 2)^2 + 7} dx\ = I$

Seja $u = x + 2$, $du = dx$.

$I\ =\ \int \dfrac{u}{u^2 + 7} du$

Seja $v = u^2$, $dv = 2u du$.

$I\ =\ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dv}{v + 7}\ =\ \dfrac{\log |v + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |u^2 + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |x^2 + 4x + 11|}{2} + c$

$f(1) = 0\ \Rightarrow\ c = -\log 4$

$f(0)\ =\ \dfrac{\log 11}{2} - \log 4\ = \fbox{$\log \dfrac{\sqrt{11}}{4}$}$

Resolva a equação $x^2 - 5x + 6 = 0$ sem utilizar Bhaskara.

$x^2 - 5x + 6 = 0\ \Rightarrow\ x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\ \Rightarrow\ (x - \dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{1}{4}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x - \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}\ \vee\ x - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow \fbox{$x = 3\ \vee\ x = 2$}$

Simplifique $\dfrac{A_{n-1,n-3}}{A_{n+1,n}}$.

$\dfrac{A_{n-1,n-3}}{A_{n+1,n}} = \dfrac{(n-1)!}{2(n+1)!} = \dfrac{1}{2(n+1)n} = \fbox{$\dfrac{1}{2n^2 + 2n}$}$

Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Seja $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ contínua em $\mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \le |x^3 + x^2|$, para todo $x \in \mathbb{R}$. A função $f$ é derivável em $0$?

Resolução:

Observemos inicialmente que $f(0) = 0$.

$f'(0)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x > 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \le \dfrac{f(x)}{x} \le x^2 + x$

$-x^3 - x^2 \le f(x) \le x^3 + x^2\ \overset{x < 0}{\Rightarrow}\ -x^2 - x \ge \dfrac{f(x)}{x} \ge x^2 + x$

Logo, pelo teorema do confronto, $f'(0)$ existe e é igual a $0$.

Sabe-se que $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é uma função derivável em $\mathbb{R}$ e que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $3$ é $x + 2y = 6$. Seja $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = (f(\sqrt{9 + 4x}))^2$. Determine $g'(0)$.

Sabe-se que $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é uma função derivável em $\mathbb{R}$ e que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $3$ é $x + 2y = 6$. Seja $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = (f(\sqrt{9 + 4x}))^2$. Determine $g'(0)$.

Resolução:

Observemos inicialmente que $f(3) = \dfrac{3}{2}$ e $f'(3) = -\dfrac{1}{2}$.

$g'(x)\ =\ 2f(\sqrt{9 + 4x}) \cdot f'(\sqrt{9 + 4x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{9 + 4x}} \cdot 4$

$g'(0)\ =\ \dfrac{4f(3) \cdot f'(3)}{3}\ = \fbox{$-1$}$

Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Sejam $f:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ uma função derivável até a segunda ordem e $g:\ \mathbb{R}\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ dada por $g(x) = x f(x + 1 + \sin 2x)$. Calcule $g''(x)$. Sabendo que $f'(1) = -2$, calcule $g''(0)$.

Resolução:

$g'(x) = f(x + 1 + \sin 2x) + x (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x)$

$\fbox{$\displaylines{g''(x) =& (1 + 2\cos 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + (1 + 2\cos 2x - 4x\sin 2x) f'(x + 1 + \sin 2x) + \\ &+ x (1 + 2\cos 2x)^2 f''(x + 1 + \sin 2x)}$}$

$g''(0) = 3f'(1) + 3f'(1) = \fbox{$-12$}$

Exercício: melhor local para se sentar no cinema.

A tela do cinema CABRALPLEX está a uma distância $K$ do chão e possui altura $L$. Um espectador vai se sentar nesta sala, que é plana, de modo que sentado em qualquer assento a distância entre seus olhos e o solo é $h$. A que distância $d$ da tela ele deve ficar sentado para que perceba a maior imagem possível da tela? Assumimos que $K > h$ e $d > 0$.

Resolução:
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{K + L - h}{d}$
 

$\tan \varphi\ =\ \dfrac{K - h}{d}$
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{(\tan \theta) + (\tan \varphi)}{1 - (\tan \theta)(\tan \varphi)}$
 

Chamemos $y\ =\ \tan \theta$ e $\alpha = K - h$.
 

$\dfrac{K + L -h}{d} = \dfrac{y + \dfrac{\alpha}{d}}{1 - \dfrac{\alpha y}{d}}$
 

$y = \dfrac{dL}{d^2 + \alpha^2 + \alpha L}$
 

$\theta$ será máximo quando $y$ for máximo.
 

Observemos que a $\lim_{d \rightarrow 0} y = 0$ e que $\lim_{d \rightarrow +\inf} y = 0$.
 

$y' = \dfrac{L(d^2 + \alpha^2 + \alpha L) - 2d^2L}{(d^2 + \alpha^2 + \alpha L)^2}$
 

$y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$d = \sqrt{(K - h)^2 + (K - h)L}$}$

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}$

Seja $\alpha\ \in\ \mathbb{N}$.

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}\ =\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)\sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i}{(x-1)}\ =$

$=\ \lim_{x \rightarrow 1} \sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i\ = \fbox{$\alpha$}$

Pensamento: Matemática é ciência, linguagem, arte, e jogo.

 

Meme: Newton no Gênesis.

 

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Resolução:

Derivando implicitamente com relação a $x$:

$1 + y' = (y + xy')\cos (xy)$

Substituindo $(0, 0)$:

$1 + y' = 0\ \Rightarrow\ y' = -1$

Logo a reta tangente será:

$y - 0 = -(x - 0)\ \equiv\ \fbox{$y = -x$}$

Meme: eu, você, e a Matemática.

 

Meme: pensando em Matemática.

 

Meme: eu sei programar.

 

Meme: sem bugs.

 

Meme: organização.

 

Meme: estresse e café.

 

Meme: calm down matemáticos.

 

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Resolução:

Seja $P_1$ o polinômio de Taylor até a primeira derivada, e tomemos $a = 64$:

$P_1 (65)\ =\ \sqrt{64} + \dfrac{(\sqrt{64})'}{1!}(65 - 64)\ =$

$=\ 8 + \dfrac{1}{16}\ = \fbox{$8,0625$}$

Utilizando uma calculadora, obtemos $\sqrt{65}\ \approx\ 8,0623$.

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}$

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}\ ,\ a,b \in \mathbb{R}_+$.

$\bullet$ Primeiro caso: $a = b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{0}{x}\ = \fbox{$0$}$

$\bullet$ Segundo caso: $a \neq 0\ \wedge\ b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{a^x}{x}\ = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{a^x}{x}\ = -\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Terceiro caso: $a = 0\ \wedge\ b \neq 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{-b^x}{x}\ = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{-b^x}{x}\ = +\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Quarto caso: $a \neq 0\ \wedge\ b \neq 0$:

Aplicando L'Hospital:

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} [(a^x \log a) - (b^x \log b)]\ = \fbox{$\log \dfrac{a}{b}$}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}\ =\ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =$

$=\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x}}\ =\ \fbox{$e^4$}$

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Resolução:

$f'(x)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i - x^n}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^{(i-1)}\ =\ \fbox{$nx^{n-1}$}$

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Consideremos a função $f(\theta) = \dfrac{\cos \theta + i\sin \theta}{e^{i\theta}}$.

$f'(\theta) = \frac{e^{i\theta}(-\sin \theta) + e^{i\theta}\sin \theta}{e^{2i\theta}} = 0$

Pela derivada ser nula, $f$ é constante.

Tomemos $\theta = 0$, $f(0) = 1$, logo $\cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.

Seja $\theta = \pi$: $-1 = e^{i\pi}$, logo:

$\fbox{$e^{i\pi} + 1 = 0$}$

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Resolução:

Definamos $u = \dfrac{1}{x}$.

Definamos $y(u) = (1 + u)^{\dfrac{4}{u}}$.

$\ln \lim_{u \rightarrow 0} y(u)\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \ln y(u)\ =$

$=\ \lim_{u \rightarrow 0} 4\dfrac{\ln (u + 1)}{u}$

Utilizando L'Hospital:

$\lim_{u \rightarrow 0} 4(\dfrac{\ln (u + 1)}{u})\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{4}{u + 1}\ =\ 4$

Logo $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x} =\ \fbox{$e^4$}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Resolução:
 

Primeiramente demonstrarmos que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h}$:
 

Tomando $k = -h$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h} = \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a + k)}{-k}\ =$
 

$=\ \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a + k) - f(a)}{k}\ =\ f'(a)$.
 

Agora a demonstração principal:
 

$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a) + f(a) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \dfrac{1}{2}(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h})\ =$
 

$=\ \dfrac{2f'(a)}{2}\ =\ \fbox{$f'(a)$}$
 

Q.E.D.

Calculadora: módulo e argumento principal de um número complexo.

Entre com uma string contendo um número complexo não nulo. Número complexo na forma "a, b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "0, 2".

Output:

"
Módulo: aproximadamente "2".
Argumento principal: aproximadamente "pi/2".
"




Módulo e argumento principal:

Calculadora: produto de números complexos.

Entre com uma string contendo números complexos separados por ponto e vírgula ";". Número complexo na forma ", b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "8, -46.5".




Produto:

Calculadora: soma de números complexos.

Entre com uma string contendo números complexos separados por ponto e vírgula ";". Número complexo na forma "a, b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "-2, 13.5".




Soma: