Por se tratar de uma integral que aparece muitas vezes, quase classificada como "notável", principalmente após substituições trigonométricas, é bom já a ter previamente calculada em mente, é o que vamos fazer.
$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \int (\sec^2 x)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\tan^2 x)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\sec^2 x\ -\ 1)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int \sec^3 x\ dx\ +\ \int \sec x\ dx$
Logo $\fbox{$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \dfrac{(\sec x)(\tan x)\ +\ \ln |\sec x\ +\ \tan x|}{2}\ +\ C$}$.
sábado, 25 de janeiro de 2020
Demonstração do teorema de Pitágoras.
Seja $\Delta ABC$ um triângulo retângulo em $A$:
$m(\overline{BC}) = a$
$m(\overline{AC}) = b$
$m(\overline{AB}) = c$
$m(\overline{AD}) = h$
$m(\overline{DB}) = n$
$m(\overline{DC}) = m$
Pelo caso AA, $\Delta ABC \sim \Delta DAC \sim \Delta DBA \Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h} = \dfrac{c}{n} \wedge \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{h} \Rightarrow$
$\Rightarrow ah = bc \wedge an = c^2\text{ (I) } \wedge bn = hc \wedge am = b^2\text{ (II) } \wedge bh = cm$
Somando (I) e (II): $a(m + n) = b^2 + c^2 \Rightarrow \fbox{$a^2 = b^2 + c^2$}$
$m(\overline{BC}) = a$
$m(\overline{AC}) = b$
$m(\overline{AB}) = c$
$m(\overline{AD}) = h$
$m(\overline{DB}) = n$
$m(\overline{DC}) = m$
Pelo caso AA, $\Delta ABC \sim \Delta DAC \sim \Delta DBA \Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h} = \dfrac{c}{n} \wedge \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{h} \Rightarrow$
$\Rightarrow ah = bc \wedge an = c^2\text{ (I) } \wedge bn = hc \wedge am = b^2\text{ (II) } \wedge bh = cm$
Somando (I) e (II): $a(m + n) = b^2 + c^2 \Rightarrow \fbox{$a^2 = b^2 + c^2$}$
sexta-feira, 24 de janeiro de 2020
Exercício: estimativa de erro de uma série convergente.
Obtenha uma estimativa do erro (ou resto) $R_n$ para a enésima soma parcial $S_n$ da série convergente $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1,1}}$ com relação à soma total $S$.
Resolução:
Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.
Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.
Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:
$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$
Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.
Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.
Resolução:
Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.
Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.
Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:
$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$
Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.
Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.
quinta-feira, 23 de janeiro de 2020
Exercício: mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.
Mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.
Resolução:
Observemos que, para $n > 1$, $\dfrac{1}{n!} \le \dfrac{1}{n(n - 1)}$, tendo ambas as séries termos não negativos, assim podemos usar o teste da comparação:
Se $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.
$\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ tendo termos não negativos e não crescentes, podemos usar o teste da integral:
$\int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2 - x} = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{(x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4}}\ =\ 2\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1}$
Seja $u = 2x - 1$, $du = 2dx$:
$\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1} = \int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}$
Seja $u = \sec \theta$, $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = (\sec \theta)(\tan \theta) d\theta$:
$\int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}\ =\ \int_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \csc \theta\ d\theta\ =\ \ln |\csc \theta - \cot \theta||_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}\ =$
$=\ I,\ I \in \mathbb{R}$
Como a integral imprópria converge, $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, assim $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.
Resolução:
Observemos que, para $n > 1$, $\dfrac{1}{n!} \le \dfrac{1}{n(n - 1)}$, tendo ambas as séries termos não negativos, assim podemos usar o teste da comparação:
Se $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.
$\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ tendo termos não negativos e não crescentes, podemos usar o teste da integral:
$\int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2 - x} = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{(x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4}}\ =\ 2\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1}$
Seja $u = 2x - 1$, $du = 2dx$:
$\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1} = \int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}$
Seja $u = \sec \theta$, $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = (\sec \theta)(\tan \theta) d\theta$:
$\int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}\ =\ \int_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \csc \theta\ d\theta\ =\ \ln |\csc \theta - \cot \theta||_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}\ =$
$=\ I,\ I \in \mathbb{R}$
Como a integral imprópria converge, $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, assim $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.
quarta-feira, 22 de janeiro de 2020
Uma alternativa ao $(-1)^n$ em séries.
$\sum_{n = 0}^N (-1)^n a = \sum_{n = 0}^N \cos(n\pi) a$
$a \in \mathbb{R}$, $N \in \mathbb{N}$.
$a \in \mathbb{R}$, $N \in \mathbb{N}$.
segunda-feira, 20 de janeiro de 2020
Exercício: área da espiral de Arquimedes.
Determine a área delimitada pelo eixo polar e pela espiral de Arquimedes, $r = \theta$, para $0 \le \theta \le 2\pi$.
Resolução:
$A\ =\ \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} \theta^2\ d\theta\ =\ \dfrac{\theta^3}{6}|_0^{2\pi}\ = \fbox{$\dfrac{4\pi^3}{3}$}$
Resolução:
$A\ =\ \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} \theta^2\ d\theta\ =\ \dfrac{\theta^3}{6}|_0^{2\pi}\ = \fbox{$\dfrac{4\pi^3}{3}$}$
domingo, 19 de janeiro de 2020
sábado, 18 de janeiro de 2020
Exercício: área do elipsoide de rotação.
Encontre a área do elipsoide obtido pela rotação ao redor do eixo $x$ da elipse $2x^2 + y^2 = 1$.
Resolução:
$y = \sqrt{1 - 2x^2}$, $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$
$A\ =\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - 2x^2}\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{1 - 2x^2}}\ dx\ =$
$=\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - x^2}\ dx$
Seja $x = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $dx = \cos \theta\ d\theta$.
$A\ =\ \pi \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos 2\theta\ +\ 1\ d\theta\ =\ \pi(\dfrac{\sin 2\theta}{2} + \theta)|_{-\pi / 4}^{\pi / 4} = \fbox{$\pi(1 + \dfrac{\pi}{2})$}$
Resolução:
$y = \sqrt{1 - 2x^2}$, $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$
$A\ =\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - 2x^2}\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{1 - 2x^2}}\ dx\ =$
$=\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - x^2}\ dx$
Seja $x = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $dx = \cos \theta\ d\theta$.
$A\ =\ \pi \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos 2\theta\ +\ 1\ d\theta\ =\ \pi(\dfrac{\sin 2\theta}{2} + \theta)|_{-\pi / 4}^{\pi / 4} = \fbox{$\pi(1 + \dfrac{\pi}{2})$}$
sexta-feira, 17 de janeiro de 2020
Exercício: área da superfície de revolução.
Encontre a área da superfície de revolução gerada pela rotação ao redor do eixo $x$ do gráfico da função $f(x) = e^{-x}$ para $x \ge 0$.
Resolução:
$f(x) = e^{-x}$, $f'(x) = -e^{-x}$
$A\ =\ 2\pi\int_0^{+\infty}e^{-x}\sqrt{1 + e^{-2x}}\ dx$
Seja $u = e^{-x}$, $du = -e^{-x} dx$.
$A\ =\ -2\pi\int_1^0 \sqrt{1 + u^2}\ du$
Seja $u = \tan \theta$, $du = \sec^2 \theta\ d\theta$.
$A\ =\ -2\pi\int_{\pi/4}^0 \sec^3 \theta\ d\theta\ = \fbox{$\pi[\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2}]$}$
Resolução:
$f(x) = e^{-x}$, $f'(x) = -e^{-x}$
$A\ =\ 2\pi\int_0^{+\infty}e^{-x}\sqrt{1 + e^{-2x}}\ dx$
Seja $u = e^{-x}$, $du = -e^{-x} dx$.
$A\ =\ -2\pi\int_1^0 \sqrt{1 + u^2}\ du$
Seja $u = \tan \theta$, $du = \sec^2 \theta\ d\theta$.
$A\ =\ -2\pi\int_{\pi/4}^0 \sec^3 \theta\ d\theta\ = \fbox{$\pi[\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2}]$}$
segunda-feira, 13 de janeiro de 2020
Exercício: resolver equação diferencial ordinária.
Resolver a EDO:
$x + e^{-x}yy' = 0$, com $y(0) = 1$
Resolução:
$yy' = -xe^x$
$\int_0^x y(x)y'(x)\ dx\ =\ -\int_0^x xe^x\ dx$
Seja $u = y(x)$, $du = y'(x)dx$.
$\int_1^{y(x)} u\ du\ = -xe^x + e^x$
$\fbox{$\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{1}{2} = e^x(1 - x)$}$
$x + e^{-x}yy' = 0$, com $y(0) = 1$
Resolução:
$yy' = -xe^x$
$\int_0^x y(x)y'(x)\ dx\ =\ -\int_0^x xe^x\ dx$
Seja $u = y(x)$, $du = y'(x)dx$.
$\int_1^{y(x)} u\ du\ = -xe^x + e^x$
$\fbox{$\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{1}{2} = e^x(1 - x)$}$
quarta-feira, 1 de janeiro de 2020
segunda-feira, 9 de dezembro de 2019
Calculadora: transcrição e tradução do DNA.
Entre com o trecho do DNA a transcrever e traduzir:
Exemplo:
Input: "TCAAAGTTT".
Output: "Serina-fenilalanina-lisina.".
Cadeia polipeptídica resultante:
Exemplo:
Input: "TCAAAGTTT".
Output: "Serina-fenilalanina-lisina.".
Cadeia polipeptídica resultante:
quarta-feira, 13 de novembro de 2019
Calculadora: expressão de funções.
Entre com a expressão a ser calculada:
Exemplo:
Input: "(2 + sqrt(4)) * 3".
Output: aproximadamente "12".
Resultado:
Exemplo:
Input: "(2 + sqrt(4)) * 3".
Output: aproximadamente "12".
Resultado:
terça-feira, 12 de novembro de 2019
Calculadora: aproximação por Taylor.
Entre com os argumentos, separados por vírgula ",", primeiro: string que representa a função; segundo: ponto no qual aplicar a função:
Exemplo:
Input: "sqrt, 3".
Output: aproximadamente "1.73".
Aproximação por Taylor:
Exemplo:
Input: "sqrt, 3".
Output: aproximadamente "1.73".
Aproximação por Taylor:
sexta-feira, 1 de novembro de 2019
Calculadora: derivada de um polinômio.
Entre com, separados por vírgula ",": primeiramente o polinômio, depois cada uma das variáveis com relação às quais vai haver a derivação, e, seguindo a variável, após dois pontos ":", quantas vezes irá haver a derivação.:
Exemplo:
Input: "3xxxy + 2xxyy + z, x : 2, y : 1".
Output: "18x + 8y".
Derivada:
Exemplo:
Input: "3xxxy + 2xxyy + z, x : 2, y : 1".
Output: "18x + 8y".
Derivada:
sábado, 28 de setembro de 2019
Calculadora: valor numérico de um polinômio.
Separados por vírgula ",", entre primeiramente com o polinômio, depois os valores a serem atribuídos às variáveis: a variável, depois o caractere "=", e depois o valor real:
Exemplo:
Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".
Output: "60z + 15".
Valor numérico do polinômio:
Exemplo:
Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".
Output: "60z + 15".
Valor numérico do polinômio:
quinta-feira, 26 de setembro de 2019
Calculadora: divisão de polinômios de uma variável.
Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo:
Exemplo:
Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".
Output:
Quociente: 2x - 1
Resto: 4
Divisão:
Exemplo:
Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".
Output:
Quociente: 2x - 1
Resto: 4
Divisão:
quarta-feira, 25 de setembro de 2019
Calculadora: multiplicação de polinômios.
Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem multiplicados:
Exemplo:
Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".
Polinômio produto:
Exemplo:
Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".
Polinômio produto:
Calculadora: soma de polinômios.
Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem somados:
Exemplo:
Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".
Polinômio soma:
Exemplo:
Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".
Polinômio soma:
terça-feira, 24 de setembro de 2019
Calculadora: reduzir termos semelhantes.
Entre com uma string contendo um polinômio de coeficientes reais a ter seus termos reduzidos:
Exemplo:
Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".
Polinômio reduzido:
Exemplo:
Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".
Polinômio reduzido:
segunda-feira, 23 de setembro de 2019
Calculadora: conversão para algarismos romanos.
Entre com um número natural positivo a converter em algarismos romanos:
Exemplo:
Input: "24". Output: $XXIV$.
Número em algarismos romanos:
Exemplo:
Input: "24". Output: $XXIV$.
Número em algarismos romanos:
quinta-feira, 19 de setembro de 2019
Calculadora: nome de um número.
Entre com uma string contendo um número natural:
Exemplo:
Input: "228". Output: "Duzentos e vinte e oito.".
Nome do número:
Exemplo:
Input: "228". Output: "Duzentos e vinte e oito.".
Nome do número:
terça-feira, 17 de setembro de 2019
Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.
Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?
Resolução:
Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.
Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:
$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$
Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.
$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$
Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:
$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$
Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):
$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:
$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$
$R_2 = 1 - 2i$
Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:
$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$
$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$
Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.
Resolução:
Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.
Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:
$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$
Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.
$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$
Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:
$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$
Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):
$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:
$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$
$R_2 = 1 - 2i$
Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:
$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$
$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$
Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.
quarta-feira, 4 de setembro de 2019
Calculadora: matriz inversa.
Entre com uma string matriz de números reais onde as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas são separadas por vírgula ",":
Exemplo:
Input: "1, 2; 3, 4".
Output:
"
-2 1
3/2 -1/2
"
Matriz inversa:
Exemplo:
Input: "1, 2; 3, 4".
Output:
"
-2 1
3/2 -1/2
"
Matriz inversa:
Calculadora: multiplicação de matrizes.
Entre com uma string contendo as duas matrizes de números reais separadas pelo caractere "x"; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";", as colunas são separadas por vírgula ",":
Exemplo:
Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".
Output:
"
10 13
22 29
"
Produto:
Exemplo:
Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".
Output:
"
10 13
22 29
"
Produto:
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