Exercício: ondulatória - Doppler.

A frequência ouvida por uma pessoa parada para o som emitido por uma fonte sonora em movimento é $1200\ Hz$, quando a fonte se aproxima, e $800\ Hz$, quando a fonte se afasta. Sendo $320\ m/s$ a velocidade do som no ar nas condições da questão, determine:

A) A velocidade da fonte sonora;
B) A frequência emitida pela fonte.

Resolução:

Chamando de $f$ a frequência da fonte, $f_p$ a frequência aparente de aproximação, $f_a$ a frequência aparente de afastamento, e $v_F$ a velocidade da fonte, as equações para os efeitos Doppler descritos no problema são:

$f_p\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - v_F}$     [1]

$f_a\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 + v_F}$     [2]

Dividindo [1] por [2], membro a membro, teremos:

$\dfrac{f_p}{f_a}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Substituindo os valores, teremos:

$\dfrac{1200}{800}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Resolvendo:

$v_F\ =\ 64\ m/s$

Substituindo $v_F$ em [1]:

$1200\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - 64}\ \Rightarrow\ f\ =\ 960\ Hz$

Exercício: ondulatória - determinando interferência.

Ondas produzidas pela fonte F refletem-se na superfície S, com inversão de fase e superpõem-se com as ondas diretas no ponto P, conforme a figura. Considerando que as ondas em questão tem comprimento de onda igual a $4,0\ m$, o ponto P é um mínimo ou um máximo de interferência?

Resolução:

Duas frentes de onda percorrerão dois caminhos distintos, interferindo-se no ponto P: uma ao longo do segmento $\overline{FP}$, e outra refletindo-se na superfície S.

O primeiro percorrerá $8\ m$, o segundo percorrerá $2\ \cdot\ \sqrt{3^2 + (\dfrac{8}{2})^2}\ =\ 10\ m$, de tal forma que a diferença será de $\Delta d\ =\ 2\ m$.

A metade do comprimento de onda é de $2\ m$, que é um múltiplo ímpar de $\Delta d$, e como a segunda frente de onda sofre inversão de fase, a interferência será construtiva.

Exercício: ondulatória - caminhante em um túnel.

(U Mackenzie-SP) Um túnel possui uma extremidade fechada e outra aberta. Na extremidade aberta existe uma fonte sonora que emite um som de $200\ Hz$. Uma pessoa que caminha no interior do túnel com velocidade constante ouve a cada $1,7\ s$ o som com intensidade mínima. Sendo a velocidade do som no ar de $340\ m \cdot s^{-1}$, a velocidade da pessoa é:

a) $200\ m \cdot s^{-1}$
b) $20\ m \cdot s^{-1}$
c) $1,7\ m \cdot s^{-1}$
d) $1\ m \cdot s^{-1}$
e) $0,5\ m \cdot s^{-1}$

Resolução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento de onda da onda estacionária:

$\lambda\ =\ \dfrac{340}{200}\ =\ 1,7\ m$

Isso quer dizer que a distância entre dois nodos será de $\dfrac{1,7}{2}\ m$.

Como o caminhante percorreu uma distância nodal em $1,7\ s$, sua velocidade será:

$v\ =\ \dfrac{\dfrac{1,7}{2}}{1,7}\ =\ 0,5\ m \cdot s^{-1}$

Logo a alternativa correta é a E.

Exercício: expressão para interferência construtiva.

(FCM Santa Casa-SP) Duas fontes sonoras, $F_1 $ e $F_2 $, estão defasadas de $180^\circ $. Um ponto P dista $x_1 $ de $F_1 $ e $x_2 $ de $F_2 $.

Sendo $k$ um número inteiro e $\lambda $ o comprimento de onda dos sons emitidos por $F_1 $ e $F_2 $, a condição para que o ponto P sofra interferência construtiva é que a diferença de percurso $\Delta x\ =\ x_2 - x_1 $ seja dada pela expressão:

a) $k \lambda $
b) $(k - \dfrac{1}{2}) \lambda $
c) $2k \lambda $
d) $(2k - 1) \lambda $

Resolução:

Como as fontes estão defasadas em $\pi\ rad $, estão com fases invertidas, logo $\Delta x $ deve ser um múltiplo ímpar de $\dfrac{\lambda}{2} $ para que em P tenhamos um máximo de amplitude.

Mas todo número ímpar é da forma $2k - 1 $ com $k \in \mathbb{Z} $.

Assim, vamos ter:

$\Delta x\ =\ (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\ =\ (k - \dfrac{1}{2}) \lambda $

Logo a alternativa correta é a B.

Altura e área de um triângulo equilátero.

$h = \dfrac{\ell \sqrt{3}}{2}$

$A = \dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

Exercício: razão entre os comprimentos de onda.

(FUVEST-SP) Considere uma onda de rádio de $2\ MHz$ de frequência, que se propaga em um meio material, homogêneo e isotrópico, com $80\%$ da velocidade com que se propagaria no vácuo. Qual a razão $\lambda_0 / \lambda$ entre os comprimentos de onda no vácuo ($\lambda_0$) e no meio material ($\lambda$)?


Resolução:

A razão $\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$, por a onda manter a mesma frequência, tem o mesmo valor da razão entre as velocidades $\dfrac{v_0}{v}$ entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio.

Como sabemos que $v\ =\ 80\%\ \cdot\ v_0$, teremos:

$\dfrac{\lambda_0}{\lambda}\ =\ \dfrac{v_0}{80\%\ \cdot\ v_0}\ =\ 1,25$