(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?
Resolução:
Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.
Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.
Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:
$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$
$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$
sábado, 8 de dezembro de 2012
Exercício: criação de coelhos.
(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?
Resolução:
Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.
Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.
Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:
$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$
$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$
Resolução:
Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.
Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.
Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:
$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$
$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$
Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.
(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?
Resolução:
Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.
$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$
$4a - e\ =\ 5$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$a + e\ =\ 25$.....[2]
Somando [1] e [2]:
$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$
A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.
Resolução:
Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.
$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$
$4a - e\ =\ 5$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$a + e\ =\ 25$.....[2]
Somando [1] e [2]:
$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$
A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.
Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.
(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?
Resolução:
Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.
$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$
$4a - e\ =\ 5$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$a + e\ =\ 25$.....[2]
Somando [1] e [2]:
$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$
A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.
Resolução:
Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.
$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$
$4a - e\ =\ 5$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$a + e\ =\ 25$.....[2]
Somando [1] e [2]:
$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$
A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.
Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.
(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.
$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$
$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]
Substituindo [1] em [2]:
$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ =\ 4800$
Logo:
$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$
Donde:
$P_v + P_c\ =\ 12600$
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.
$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$
$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]
Substituindo [1] em [2]:
$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ =\ 4800$
Logo:
$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$
Donde:
$P_v + P_c\ =\ 12600$
Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.
(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.
$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$
$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]
Substituindo [1] em [2]:
$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ =\ 4800$
Logo:
$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$
Donde:
$P_v + P_c\ =\ 12600$
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.
$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$
$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]
Da primeira sentença temos:
$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]
Substituindo [1] em [2]:
$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$
$P_c\ =\ 4800$
Logo:
$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$
Donde:
$P_v + P_c\ =\ 12600$
Exercício: massa apos desidratação.
(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?
Resolução:
Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.
Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.
Resolução:
Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.
Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.
Exercício: massa apos desidratação.
(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?
Resolução:
Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.
Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.
Resolução:
Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.
Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.
sexta-feira, 7 de dezembro de 2012
Exercício: número de questões de um teste.
(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?
Resolução:
Chamemos de $r$ o número de questões restantes.
$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$
$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$
$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$
$r\ =\ 50$
Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.
Resolução:
Chamemos de $r$ o número de questões restantes.
$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$
$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$
$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$
$r\ =\ 50$
Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.
Exercício: número de questões de um teste.
(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?
Resolução:
Chamemos de $r$ o número de questões restantes.
$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$
$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$
$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$
$r\ =\ 50$
Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.
Resolução:
Chamemos de $r$ o número de questões restantes.
$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$
$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$
$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$
$r\ =\ 50$
Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.
Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.
(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$
$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$
$d\ \le\ \frac{1}{5}$
Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$
$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$
$d\ \le\ \frac{1}{5}$
Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.
Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.
(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$
$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$
$d\ \le\ \frac{1}{5}$
Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.
Resolução:
Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$
$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$
$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$
$d\ \le\ \frac{1}{5}$
Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.
Exercício: cálculo de parcela de débito.
(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:
Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?
Resolução:
Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:
$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$
$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$
$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$
Assim:
$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$
Observemos que:
$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$
Exatamente a parcela de abril.
| Janeiro | -> | $R\$\ 1.000,00$ |
| Março | -> | $R\$\ 1.210,00$ |
| Abril | -> | $R\$\ 1.331,00$ |
Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?
Resolução:
Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:
$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$
$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$
$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$
Assim:
$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$
Observemos que:
$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$
Exatamente a parcela de abril.
Exercício: cálculo de parcela de débito.
(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:
Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?
Resolução:
Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:
$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$
$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$
$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$
Assim:
$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$
Observemos que:
$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$
Exatamente a parcela de abril.
| Janeiro | -> | $R\$\ 1.000,00$ |
| Março | -> | $R\$\ 1.210,00$ |
| Abril | -> | $R\$\ 1.331,00$ |
Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?
Resolução:
Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:
$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$
$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$
$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$
Assim:
$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$
Observemos que:
$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$
Exatamente a parcela de abril.
Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.
(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?
Resolução:
Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.
$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$
$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $
$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$
Donde:
$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$
$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$
Resolução:
Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.
$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$
$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $
$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$
Donde:
$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$
$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$
Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.
(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?
Resolução:
Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.
$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$
$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $
$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$
Donde:
$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$
$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$
Resolução:
Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.
$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$
$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $
$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$
Donde:
$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$
$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$
quarta-feira, 5 de dezembro de 2012
Exercício: enumeração com certa quantidade de algarismos.
(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?
Resolução:
Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.
Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.
Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.
Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.
Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.
Resolução:
Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.
Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.
Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.
Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.
Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.
Exercício: enumeração com certa quantidade de algarismos.
(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?
Resolução:
Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.
Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.
Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.
Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.
Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.
Resolução:
Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.
Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.
Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.
Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.
Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.
Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.
Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:
$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$
Desenvolvendo, teremos:
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$
$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$
Consideremos agora duas possibilidades:
a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$
b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$
Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.
$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$
Desenvolvendo, teremos:
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$
$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$
Consideremos agora duas possibilidades:
a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$
b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$
Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.
Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.
Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:
$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$
Desenvolvendo, teremos:
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$
$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$
Consideremos agora duas possibilidades:
a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$
b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$
Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.
$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$
Desenvolvendo, teremos:
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$
$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$
$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$
$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$
Consideremos agora duas possibilidades:
a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$
b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$
Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.
Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.
Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.
a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$
Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__
b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$
Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.
a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$
Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__
b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$
Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.
Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.
Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.
a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$
Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__
b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$
Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.
a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$
Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__
b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:
$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$
Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.
Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.
Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.
1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$
Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__
2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:
$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$
Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__
3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$
Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.
1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$
Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__
2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:
$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$
Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__
3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$
Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.
Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.
Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.
1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$
Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__
2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:
$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$
Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
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3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$
Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.
1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$
Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
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2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:
$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$
Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
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3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:
$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$
Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.
Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.
(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?
Resolução:
a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.
b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:
$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$
Logo:
$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?
Resolução:
a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.
b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:
$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$
Logo:
$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$
Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.
(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?
Resolução:
a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.
b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:
$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$
Logo:
$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?
Resolução:
a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.
b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:
$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$
Logo:
$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$
terça-feira, 4 de dezembro de 2012
Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.
(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
Resolução:
A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.
Chamando de $h$ o número de homens, teremos:
$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$
$4800\ =\ 15h + 4200$
$h\ =\ 40$
Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.
Resolução:
A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.
Chamando de $h$ o número de homens, teremos:
$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$
$4800\ =\ 15h + 4200$
$h\ =\ 40$
Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.
Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.
(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
Resolução:
A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.
Chamando de $h$ o número de homens, teremos:
$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$
$4800\ =\ 15h + 4200$
$h\ =\ 40$
Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.
Resolução:
A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.
Chamando de $h$ o número de homens, teremos:
$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$
$4800\ =\ 15h + 4200$
$h\ =\ 40$
Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.
Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.
Consideremos o real $x$ tal que:
$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$
$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$
Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.
Como queríamos demonstrar.
$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$
$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$
Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.
Como queríamos demonstrar.
Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.
Consideremos o real $x$ tal que:
$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$
$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$
Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.
Como queríamos demonstrar.
$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$
$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$
Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.
Como queríamos demonstrar.
Exercício: demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.
Chamemos $x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.
Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.
$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$
$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$
$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$
Logo:
$x^2\ =\ 4$
Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.
Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.
$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$
$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$
$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$
Logo:
$x^2\ =\ 4$
Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.
Exercício: demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.
Chamemos $x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.
Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.
$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$
$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$
$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$
Logo:
$x^2\ =\ 4$
Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.
Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.
$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$
$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$
$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$
Logo:
$x^2\ =\ 4$
Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.
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