 |
Determinar a frequência sonora ouvida por uma pessoa localizada a $8\ m$ de uma estrada quando nela se encontra uma ambulância emitindo um som de $3,0 \cdot 10^3\ Hz$, na estrada aproximando-se com $v = 20\ m/s$, a $10\ m$ de distância. Considere a velocidade do som $v_s = 340\ m/s$.
Resolução:
$f \underset{v_s >> v}{\underbrace{\approx}} 3000 \cdot \dfrac{340}{340 + \underset{-12}{\underbrace{\mathcal{V_A}_8^{[20, (6, 0)]}(0)}}} \approx \fbox{$3100\ Hz$}$
A velocidade $\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x)$ de distanciamento (ou de aproximação, caso negativa) de um ponto pertencente à curva de uma função contínua, derivável $f(x)$, que se move a uma velocidade $v$, a um ponto $(a, b)$ em $x$ é dada por
$\fbox{$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{v\{(x - a) + [f(x) - b] f'(x)\}}{\sqrt{\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}\{1 + [f'(x)]^2\}}}$}$.
Demonstração:
Seja $D = \sqrt{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2}$ a distância de $(x, f(x))$ a $(a, b)$.
Seja $C = \displaystyle\int_c^x \sqrt{1 + [f'(k)]^2}\ dk$, $c \in D_f$ o comprimento da curva $f(k)$ de $k = c$ a $x$.
$\dfrac{dC}{dx} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}$
$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{dD}{dt} = \dfrac{dD}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dC} \cdot \dfrac{dC}{dt}$
$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{(x - a) + [f(x) - b] f'(x)}{\sqrt{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 + [f'(x)]^2}} \cdot v$
Exemplo: para $f(x) = x$, $x = 1$, $(a, b) = (2, 0)$ e $v = 2$:
$\mathcal{V_A}_{x}^{[2, (2, 0)]}(1) = \dfrac{-1 + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = 0$
Eis o gráfico de $\mathcal{V_A}_{x}^{[2, (2, 0)]}(x)$ por $x$:
Seja uma escada de comprimento $L$ apoiada em uma parede. Supondo que ela está deslizando com a extremidade na parede descendo a uma velocidade $-v$. Determinar a velocidade $V$ com a qual a extremidade no chão se afasta da parede.
Resolução:
Seja $h$ a distância do chão à extremidade na parede, e $x$ a distância da parede à extremidade apoiada no chão.
$x = \sqrt{L^2 - h^2}$
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{-h}{\sqrt{L^2 - h^2}} \cdot v$
Logo $\fbox{$V = -\dfrac{hv}{\sqrt{L^2 - h^2}}$}$.
Observação: a relação também é válida para quando a extremidade apoiada na parede está subindo.
Exemplo: para $v = -1$ e $L = 5$, eis o gráfico de $V \text{x} h$:
Seja um retângulo de área constante $A$, e um lado que varia de comprimento a uma velocidade $v$. Qual a velocidade $V$ com a qual varia o comprimento do outro lado?
Resolução:
Seja $\ell$ o comprimento do lado que varia a uma taxa $v$, e $L$ o comprimento do lado que varia a uma taxa $V$.
$L = \dfrac{A}{\ell}$
$\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{dL}{d\ell} \cdot \dfrac{d\ell}{dt} = -\dfrac{A}{\ell^2} \cdot v$
Logo $\fbox{$V = -\dfrac{Av}{\ell^2}$}$.
Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, se $F$ é uma primitiva de $f$, então $F'(x) = f(x)$.
$[F(x) - \underset{\text{Constante}}{\underbrace{F(a)}}]' = f(x)$
$\dfrac{d}{dx}[\displaystyle\int_a^x f(t)\ dt] = f(x)$
$\fbox{$\displaystyle\int_a^x f(t)\ dt = F(x)$}$, que é o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.
C.Q.D.
Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e considere a função $g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\ dt$. Mostre que $g'(x) = f(x)$.
Resolução:
Seja $F$ uma primitiva de $f$.
$g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\ dt = F(x) - \underset{\text{Constante}}{\underbrace{F(a)}}$
Derivando ambos os membros com relação a $x$:
$g'(x) = f(x)$
C.Q.D.
Mostre que se $f:\ [a, b]\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é contínua, então existe $c \in [a, b]$ tal que
$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = f(c)(b - a)$.
Resolução:
O Teorema do Valor Médio afirma: seja $g$ uma função contínua em $[a, b]$ e derivável em $(a, b)$, então, existe $c \in (a, b)$ tal que
$g'(c) \cdot (b - a) = g(b) - g(a)$.
$g'(c) \cdot (b - a) = \displaystyle\int_a^b g'(x)\ dx$
Seja $f(x) = g'(x)$:
$\fbox{$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = (b - a)f(c)$}$
C.Q.D.
Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função duas vezes continuamente diferenciável, isto é, $f$, $f'$ e $f''$ são contínuas. Determine o valor de $f(0)$ sabendo que $f(\pi) = 2$ e que
$\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ 5$.
Resolução:
Seja $I = \displaystyle\int (f(x) + f''(x))\sin x\ dx$.
$I = \displaystyle\int f(x) \cdot \sin x\ dx\ +\ \displaystyle\int f''(x) \cdot \sin x\ dx\ =$
$= -f(x) \cdot \cos x + \cancel{\displaystyle\int f'(x) \cdot \cos x\ dx}\ +\ f'(x) \cdot \sin x\ \cancel{- \displaystyle\int f'(x) \cdot \cos x\ dx}\ =$
$= -f(x) \cdot \cos x + f'(x) \cdot \sin x\ + c$
Logo $\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ \left. (-f(x) \cdot \cos x + f'(x) \cdot \sin x)\ \right|_0^{\pi}\ =\ 2 + f(0)$.
$\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ 5\ \Rightarrow\ 2 + f(0) = 5\ \Rightarrow\ \fbox{$f(0) = 3$}$
$(\dfrac{\cos x}{\sin x})' = \dfrac{(\cos x)'(\sin x) - (\cos x)(\sin x)'}{\sin^2 x} = \dfrac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x}$
Logo, $\fbox{$(\cot x)' = -\csc^2 x$}$.
$(\dfrac{\sin x}{\cos x})' = \dfrac{(\sin x)'(\cos x) - (\sin x)(\cos x)'}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
Logo, $\fbox{$(\tan x)' = \sec^2 x$}$.
Utilizando a definição, mostre que $(\sin x)' = \cos x$.
Demonstração:
$(\sin x)' = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin x)(\cos h) + (\sin h)(\cos x) - \sin x}{h} =$
$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin x)(\cos h) - \sin x}{h} + \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin h)(\cos x)}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin x)[(\cos h) - 1]}{h} + \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin h)(\cos x)}{h} =$
$= -\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} [(\sin x) \cdot \dfrac{(\sin \dfrac{h}{2})}{h/2} \cdot (\sin \dfrac{h}{2})] + \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin h)(\cos x)}{h} =$
$= \cancelto{0}{-(\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \sin x) \cdot \underset{1}{\underbrace{(\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin \dfrac{h}{2})}{h/2})}} \cdot (\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \sin \dfrac{h}{2})} + \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sin h)(\cos x)}{h} =$
$= \underset{1}{\underbrace{\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h}}} \cdot \cos x$
Logo $\fbox{$(\sin x)' = \cos x$}$.
Utilizando a definição, mostre que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $n \in \mathbb{N}$.
Resolução:
$(x^n)' = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}x^{n-i}h^i - x^n}{h} =$
$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i}x^{n-i}h^{i-1} = \fbox{$nx^{n-1}$}$
Seja $y = \log x$, com $x$ real e positivo.
$x = e^y$
Derivando implicitamente com relação a $x$:
$1 = y'e^y\ \Rightarrow\ y' = \dfrac{1}{e^{\log x}}$.
Logo $\fbox{$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$}$.
Seja $f(x) = a^x$, com $a > 0$ e $a \neq 1$.
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} a^x \dfrac{a^h - 1}{h}$
Pelo terceiro limite fundamental, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \log a$.
Logo, $\fbox{$(a^x)' = a^x \log a$}$.
Em particular, quando $a = e$, $(e^x)' = e^x$.
Uma reta e a parábola terão em comum o ponto $(x_0,y_0)$. Em tal ponto a reta terá coeficiente angular $2x_0$.
$x_0^2 = 2x_0(x_0 - 1)\ \Rightarrow\ x_0 = 0\ \vee\ x_0 = 2$
Logo as retas são $\fbox{$y = 0$}$ e $\fbox{$y - 4 = 4(x - 2)$}$.
$I\ =\ \int \dfrac{t + 1}{\sqrt{t^3}} dt\ =\ \int \dfrac{t}{\sqrt{t^3}} dt + \int \dfrac{dt}{\sqrt{t^3}}$
$\fbox{$I = 2\sqrt{t} - \dfrac{2}{\sqrt{t}} + c$}$
$\int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 4 + 7} dx\ =\ \int \dfrac{x + 2}{(x + 2)^2 + 7} dx\ = I$
Seja $u = x + 2$, $du = dx$.
$I\ =\ \int \dfrac{u}{u^2 + 7} du$
Seja $v = u^2$, $dv = 2u du$.
$I\ =\ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dv}{v + 7}\ =\ \dfrac{\log |v + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |u^2 + 7|}{2} + c\ =\ \dfrac{\log |x^2 + 4x + 11|}{2} + c$
$f(1) = 0\ \Rightarrow\ c = -\log 4$
$f(0)\ =\ \dfrac{\log 11}{2} - \log 4\ = \fbox{$\log \dfrac{\sqrt{11}}{4}$}$
