Calculadora: comprimento de uma curva tridimensional por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: a expressão da função para $z$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; quarto: um número real como valor inferior para $t$; quinto: um número real como valor superior para $t$; sexto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo: entre com: "cos(t); sen(t); t; 0; 2*pi; 100".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva tridimensional no intervalo (aproximado):

Calculadora: comprimento de uma curva por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: um número real como valor inferior para $t$; quarto: um número real como valor superior para $t$; quinto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "cos(t); sen(t); 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva no intervalo (aproximado):

Comprimento de uma curva tridimensional dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$, $g(t)$ e $h(t)$ três funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2 + \left[h(t_{i+1}) - h(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$, $t_{k_2}$, e $t_{k_3}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$, $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_3} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2 + \left[h'(t_{k_3})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2 + \left[h'(t)\right]^2}\ dt$}$

Comprimento de uma curva dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$ e $g(t)$ duas funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$ e $t_{k_2}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2}\ dt$}$

Exemplo: sejam $f(t) = \cos t$, $g(t) = \sin t$, $a = 0$ e $b = 2\pi$ (o ciclo trigonométrico):

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}\ dt = \left.t\right|_0^{2\pi} = 2\pi$.

Meme: não ter para quem motrar Matemática avançada.

 

Comprimento da espiral de Arquimedes.

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{(\cos \theta - \theta\sin \theta)^2 + (\sin \theta + \theta\cos \theta)^2}\ d\theta = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \theta^2}\ d\theta$

 

Seja $\theta = \tan \varphi$, $d\theta = \sec^2 \varphi\ d\varphi$.

 

$C = \displaystyle\int_0^{\arctan 2\pi} \sec^3 \varphi\ d\varphi = \fbox{$\dfrac{2\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \log\left(2\pi + \sqrt{4\pi^2 + 1}\right)}{2}$}$

Meme: eu sei Cálculo.

 

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função em coordenadas polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "teta"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "1; 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):

Comprimento do gráfico de uma função em coordenadas polares.

Seja $\rho(\theta)$ uma função diferenciável no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ seu comprimento quando $\theta$ varia de $a$ a $b$:

 

 

 

${\small C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left\{\left[\rho(\theta_{i+1})\right]\left[\cos(\theta_{i+1})\right] - \left[\rho(\theta_i)\right]\left[\cos(\theta_i)\right]\right\}^2 + \left\{\left[\rho(\theta_{i+1})\right]\left[\sin(\theta_{i+1})\right] - \left[\rho(\theta_i)\right]\left[\sin(\theta_i)\right]\right\}^2}}$

 

Seja um $\theta_k$ tal que $\theta_i \le \theta_k \le \theta_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

 

${\scriptsize C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left\{(\theta_{i+1} - \theta_i)\left[\rho'(\theta_k)\cos \theta_k - \rho(\theta_k)\sin \theta_k\right]\right\}^2 + \left\{(\theta_{i+1} - \theta_i)\left[\rho'(\theta_k)\sin \theta_k + \rho(\theta_k)\cos \theta_k\right]\right\}^2} =}$

 

${\scriptsize = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[\rho'(\theta_k)\cos \theta_k - \rho(\theta_k)\sin \theta_k\right]^2 + \left[\rho'(\theta_k)\sin \theta_k + \rho(\theta_k)\cos \theta_k\right]^2} (\theta_{i+1} - \theta_i)}$

 

Logo, pela definição de integral:

 

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[\rho'(\theta)\cos \theta - \rho(\theta)\sin \theta\right]^2 + \left[\rho'(\theta)\sin \theta + \rho(\theta)\cos \theta\right]^2}\ d\theta$}$

 

Exemplo: seja $\rho(\theta) = 1$, $a = 0$ e $b = 2\pi$ (o ciclo trigonométrico):

 

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}\ d\theta = \left.\theta\right|_0^{2\pi} = 2\pi$.

Exercício: continuidade de uma função.

Seja $f(x) = \begin{cases}7x - 2\ \text{se}\ x \le 1\\ kx^2\ \text{se}\ x > 1\end{cases}$. Determinar $k$ para que $f$ seja contínua.

 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)\ \Rightarrow\ kx^2 = 7x - 2$ para $x = 1$, donde $k = 5$.

Determinar o $8^{\text{0}}$ termo da progressão geométrica $(2, 6, 18, 54, \dots)$.

$a_8 = 2 \cdot 3^{8 - 1} = \fbox{$4374$}$

Determinar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)}{(x - 3)\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{\cancel{x - 3}}{\cancel{(x - 3)}\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$}$

Determinar $L = \displaystyle\lim_{t \rightarrow -\infty} \dfrac{t^2 + 2}{t^3 + t^2 - 1}$.

$L \overset{t \neq 0}{=} \displaystyle\lim_{t \rightarrow -\infty} \dfrac{\dfrac{t^2 + 2}{t^2}}{\dfrac{t^3 + t^2 - 1}{t^2}} = \displaystyle\lim_{t \rightarrow -\infty} \dfrac{1 + \dfrac{2}{t^2}}{t + 1 - \dfrac{1}{t^2}} = \fbox{$0$}$

Calcular $L = \log_{0,04} 625$.

$L = \log_{1 / 25} 625 = \fbox{$-2$}$

Calculadora: fração geratriz de uma dízima periódica.

Entre com uma string do tipo "m.npo" onde "m", "n" e "o" são números inteiros, "p" é um marcador do início da periodicidade, "n" e "o" não negativos, "n" pode ser omitido.

Exemplos:

Input: "12.4p7". Output: "1123 / 90".

Input: "-5.p501". Output: "-1832 / 333".




Fração geratriz da dízima periódica: