Calculadora: gráfico de pizza.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ",".

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5".

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_4^9 2x\sqrt{x}\ dx$.

$I = \left.\dfrac{4}{5}\sqrt{x^5}\right|_4^9 = \dfrac{972}{5} - \dfrac{128}{5} = \fbox{$\dfrac{844}{5}$}$

Exercício: escalando um time de vôlei.

Um técnico de um time de voleibol possui à sua disposição $15$ jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de $6$ jogadores?

 

$A_{15, 6} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = \fbox{$3603600$ maneiras}$

Cada um com sua posição designada.

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{3x + 1}}$.

Seja $u = 3x + 1$, $du = 3dx$.

 

$I = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^4 \dfrac{du}{\sqrt{u}} = \dfrac{1}{3} \cdot \left.2\sqrt{u}\right|_1^4 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(x + \dfrac{2}{\sin^2 x}\right)\ dx$.

$I = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_{\pi/6}^{\pi/2} - 2\left.\cot x\right|_{\pi/6}^{\pi/2} = \fbox{$\dfrac{\pi^2}{9} + 2\sqrt{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}}\ dy$.

Seja $4 - 3y = x$, $y = \dfrac{4 - x}{3}$ e $dx = -3dy$.

 

$I\ =\ -\dfrac{1}{27}\displaystyle\int_4^1 \dfrac{16 - 8x + x^2}{\sqrt{x}}\ dx\ =\ -\dfrac{1}{27}\left.\left(32\sqrt{x} - \dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} + \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}\right)\right|_4^1 =$

 

$=\ -\dfrac{32 - 64 - \dfrac{16}{3} + \dfrac{128}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{64}{5}}{27} = \fbox{$\dfrac{106}{405}$}$

Quantas senhas com $4$ algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ e $9$?

$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$3024$}$

Ponto Futuro de Antonio Vandré.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções diferenciáveis em $(a, b)$ tais que $[a, b] \subset D_f$ e $[a, b] \subset D_g$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é aquele em que, duas partículas, deslocando-se sob os gráficos de $f$ e $g$, cada uma com sua velocidade, encontram-se.

Sejam $v_f$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $f$, $v_g$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $g$, $x_o \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $f$ e ${x_o}_g \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $g$:

Os pontos futuros de Antonio Vandré $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right),\ x_{pfa} \in [a, b]$, se existirem, serão dados pelas soluções $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right)$ de:

$\fbox{$v_g\displaystyle\int_{{x_o}_f}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\ =\ v_f\displaystyle\int_{{x_o}_g}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[g'(x)\right]^2}\ dx\ \wedge\ f(x_{pfa}) = g(x_{pfa})$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = x$, $g(x) = 1$, $v_f = \sqrt{2}$, $v_g = 1$, ${x_o}_f = 0$ e ${x_o}_g = 0$:

$\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} \sqrt{2}\ dx = \sqrt{2}\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} dx\ \Rightarrow\ \sqrt{2}x_{pfa} = \sqrt{2}x_{pfa}\ \Rightarrow\ x_{pfa} \in \mathbb{R}$.

Como $x = 1$ é a única solução de $f(x) = g(x)$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é $(1, 1)$.

Calcular a integral definida $I = \displaystyle\int_0^e \dfrac{dx}{x + e}$.

Seja $u = x + e$, $du = dx$.

 

$I = \displaystyle\int_e^{2e} \dfrac{du}{u} = \left.\log |u|\right|_e^{2e} = \log 2e - \log e = \fbox{$\log 2$}$

Resolver a equação exponencial $2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = \dfrac{15}{2}$.

$15 \cdot 2^x = \dfrac{15}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$x = -1$}$

Calculadora: superfície de revolução gerada por gráfico em coordenadas polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser funções em "teta"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: "x" para rotacionar em torno do eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar em torno do eixo $Oy$; quinto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calcular $I = \displaystyle\int \dfrac{9r^2\ dr}{\sqrt{1 - r^3}}$.

Seja $u = 1 - r^3,\ du\ =\ -3r^2\ dr$.

 

$I\ =\ -3\displaystyle\int \dfrac{du}{\sqrt{u}} = -6\sqrt{u} + c = \fbox{$-6\sqrt{1 - r^3} + c$}$

Determinar o valor de $x$ de modo que a expressão $2 \cdot 2^x = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{2}$ seja verdadeira.

$2^{x + 1} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{6 + 3 + 2}{12}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{11}{12}}\ \Rightarrow\ \fbox{$x = -\dfrac{1}{12}$}$

Calcular $f(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + t^2}\ dt$.

Pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), $\fbox{$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$}$.

Resolver em $\mathbb{R}$: $\dfrac{25^x + 125}{6} = 5^{x + 1}$.

Seja $y = 5^x$:

$y^2 - 30y + 125 = 0\ \Rightarrow\ y = 5\ \vee\ y = 25\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 1\ \vee\ x = 2$}$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 (1 - 2x)^3\ dx$.

Seja $u = 1 - 2x,\ du = -2dx$.

$I\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^{-1} u^3\ du\ =\ -\dfrac{1}{2} \cdot \left.\dfrac{u^4}{4}\right|_1^{-1} = -\dfrac{1}{2}\left(\cancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{4}}\right) = \fbox{$0$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{x - 3} + 2^{x - 1} + 2^x = 52$.

Multiplicando ambos os membros da equação por $8$:

$2^x + 4 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x = 416\ \Rightarrow\ 2^x = 32\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 5$}$.

Se $\log_a b = 3$ e $\log_{ab} c = 4$, quanto é $\log_a c$?

$\log_{ab} c = 4 = \dfrac{\log_a c}{\log_a ab} = \dfrac{\log_a c}{\log_a a + \log_a b} = \dfrac{\log_a c}{1 + 3}\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a c = 16$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int x^2 \sec(x^3)\ dx$.

Seja $u = x^3,\ du = 3x^2\ dx$.

$I\ =\ \dfrac{1}{3}\displaystyle\int \sec{u}\ du\ =\ \dfrac{\log |\sec u + \tan u|}{3} + c = \fbox{$\log \left|\sqrt[3]{\sec(x^3) + \tan(x^3)}\right| + c$}$

Sabendo que $\log_3 (7x - 1) = 3$ e que $\log_2 (y^3 + 3) = 7$, qual o valor de $\log_y (x^2 + 9)$?

$x = 4$ e $y = 5$, logo $\fbox{$\log_y (x^2 + 9) = 2$}$.

Qual o valor de $n$ que torna a sequência $(2 + 3n,\ 5n,\ 1 - 4n)$ uma progressão aritmética?

$10n = 2 + 3n + 1 - 4n\ \Rightarrow \fbox{$n = \dfrac{3}{11}$}$

Exercício: distribuição de postes em uma estrada segundo uma progressão aritmética.

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a $80$ metros dela, o segundo, a $100$ metros, o terceiro, a $120$ metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de $20$ metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de $1\ 380$ metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R\$ $8\ 000$ por poste colocado, qual o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes?

$1380 = 80 + (n - 1) \cdot 20\ \Rightarrow\ n = 66\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \fbox{A despesa máxima poderá ser de R\$ $528\ 000$.}$

Calculadora: superfície ou região de revolução por gráfico de uma curva ou região por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$ e $y$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: "x" para rotação com relação ao eixo $Ox$, ou "y" para rotação com relação ao eixo $Oy$; sétimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: