Calculadora: mínimo múltiplo comum (mmc) passo a passo.

Entre com, separados por vírgula ",", inteiros positivos ao menos um maior que $1$.

Exemplo: entre com "3, 2, 12".




Mínimo múltiplo comum (mmc) passo a passo:

Exercício: número de seguidores em PA.

Cris decidiu ser uma influenciadora digital, e, para isso, ela criou uma conta nas redes sociais. Realizando a divulgação para os seus amigos mais próximos, logo no primeiro dia, ela conseguiu o marco de $40$ seguidores. Após esse marco, no segundo dia, ela conseguiu mais $14$ seguidores, no terceiro dia também, e assim sucessivamente durante toda a primeira semana. Se esse comportamento for mantido, ou seja, se ela conseguir $14$ seguidores por dia, qual será a quantidade de seguidores ao final de $30$ dias?

$a_{30} = 40 + 29 \cdot 14 = \fbox{$446$ seguidores}$

Exercício: crescimento de uma planta em PA.

A altura de uma planta, em centímetros, ao decorrer dos dias, foi anotada e organizada conforme a tabela seguinte:

$\def\arraystretch{1.2}$${\small \begin{array}{|c c c c c c c c c c|}\hline \text{Tempo (dias)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline \text{Altura (cm)} & 3,0 & 5,5 & 8,0 & 10,5 & 13,0 & 15,5 & 18,0 & 20,5 & 23,0\\ \hline\end{array}}$

Se esse comportamento de crescimento for mantido, após quantos dias essa planta terá a altura de $65,5$ cm?

$65,5 = 3 + (n - 1) \cdot 2,5\ \Rightarrow \fbox{$n = 26$ dias}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x}{x^2 + 4}\ dx$.

Seja $x = 2\tan u$, $dx = 2\sec^2 u\ du$.

$I\ =\ \displaystyle\int \tan u\ du\ =\ \displaystyle\int \dfrac{\sin u}{\cos u} du$

Seja $v = \cos u$, $dv = -\sin u\ du$.

$I\ =\ -\displaystyle\int \dfrac{dv}{v} = -(\log |v|) + c = -(\log |\cos u|) + c = \fbox{$-\left(\log \cos \arctan \dfrac{x}{2}\right) + c$}$

Exercício: lucros em progressão aritmética.

Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R\$ $800\ 000$ no primeiro mês, e, a cada mês, houve um aumento de R\$ $15\ 000$ em relação ao mês anterior. Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, qual será o lucro mensal dessa empresa em dezembro?

$a_{12} = 800000 + 11 \cdot 15000 = \fbox{R\$ $965\ 000$}$

Determinar a primitiva de $f(x) = \dfrac{2}{3}\sec^2 \dfrac{x}{3}$.

Seja $u = \dfrac{x}{3}$, $du = \dfrac{dx}{3}$.

$\displaystyle\int \dfrac{2}{3}\sec^2 \dfrac{x}{3}\ dx\ =\ 2\displaystyle\int \sec^2 u\ du\ =\ 2\tan u + c = \fbox{$2\left(\tan \dfrac{x}{3}\right) + c$}$

Determinar a primitiva de $f(x) = -\pi \sin (\pi x)$.

Seja $u = \pi x$, $du = \pi dx$.

$\displaystyle\int -\pi \sin (\pi x)\ dx\ =\ -\displaystyle\int \sin u\ du\ =\ (\cos u) + c = \fbox{$\cos (\pi x) + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int (x + 1)(3x - 2)\ dx$.

$I = \displaystyle\int 3x^2 + x - 2\ dx = \fbox{$x^3 + \dfrac{x^2}{2} - 2x + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\ dx\ +\ \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x}}\ dx\ +\ \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}}$

$\fbox{$I = \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5} + \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + 2\sqrt{x} + c$}$

Exercício: soma mais provável.

Os números naturais de $1$ a $10$ foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual o valor mais provável da soma dos números sorteados?

$2$: $(1, 1)$

$3$: $(1, 2)$, $(2, 1)$

$4$: $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

$5$: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$

$6$: $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$

$7$: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$

$8$: $(1, 7)$, $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$, $(7, 1)$

$9$: $(1, 8)$, $(2, 7)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 3)$, $(7, 2)$, $(8, 1)$

$10$: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(6, 4)$, $(7, 3)$, $(8, 2)$, $(9, 1)$

$11$: $(1, 10)$, $(2, 9)$, $(3, 8)$, $(4, 7)$, $(5, 6)$, $(6, 5)$, $(7, 4)$, $(8, 3)$, $(9, 2)$, $(10, 1)$

$12$: $(2, 10)$, $(3, 9)$, $(4, 8)$, $(5, 7)$, $(6, 6)$, $(7, 5)$, $(8, 4)$, $(9, 3)$, $(10, 2)$

$13$: $(3, 10)$, $(4, 9)$, $(5, 8)$, $(6, 7)$, $(7, 6)$, $(8, 5)$, $(9, 4)$, $(10, 3)$

$14$: $(4, 10)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(7, 7)$, $(8, 6)$, $(9, 5)$, $(10, 4)$

$15$: $(5, 10)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(8, 7)$, $(9, 6)$, $(10, 5)$

$16$: $(6, 10)$, $(7, 9)$, $(8, 8)$, $(9, 7)$, $(10, 63)$

$17$: $(7, 10)$, $(8, 9)$, $(9, 8)$, $(10, 7)$

$18$: $(8, 10)$, $(9, 9)$, $(10, 8)$

$19$: $(9, 10)$, $(10, 9)$

$20$: $(10, 10)$

Logo a soma mais provável é $11$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{t\sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^2}\ dt$.

$I = \displaystyle\int \dfrac{dt}{\sqrt{t}} + \displaystyle\int \dfrac{dt}{\sqrt{t^3}} = 2\sqrt{t} - \dfrac{2}{\sqrt{t}} + c = \fbox{$\dfrac{2t - 2}{\sqrt{t}} + c$}$

Os bilhetes de uma rifa são numerados de $1$ a $100$. Qual a probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que $40$ ou número par?

Seja $A$ o evento procurado, $n(A) = 60 + 20 = 80$.

Logo $P(A) = \dfrac{80}{100} = \fbox{$80 \%$}$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \theta \sqrt[4]{1 - \theta^2}\ d\theta$.

Seja $u = 1 - \theta^2$, $du = -2\theta d\theta$.

$I\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt[4]{u}\ du\ =\ -\dfrac{2}{5}\sqrt[4]{u^5} + c = \fbox{$-\dfrac{2\sqrt[4]{(1 - \theta^2)^5}}{5} + c$}$

Exercício: determinando um lado e um ângulo de um triângulo.

Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado $AC$ e o ângulo formado no vértice $A$.

$b^2 = 100 + 64 - 160\cos 50^\text{o}\ \Rightarrow\ b = 2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}} \approx\ \fbox{$7,8$}$

$\dfrac{\sin 50^\text{o}}{2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} = \dfrac{\sin \hat{A}}{8}\ \Rightarrow\ \hat{A} = \arcsin \dfrac{4\sin 50^\text{o}}{\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} \approx\ \fbox{$51,6^\text{o}$}$

Calcular $\displaystyle\int \sqrt{3 - 2s}\ ds$.

Seja $u = 3 - 2s$, $du = -2ds$.

$\displaystyle\int \sqrt{3 - 2s}\ ds\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt{u}\ du\ =\ -\dfrac{1}{3}\sqrt{u^3} + c = \fbox{$-\dfrac{\sqrt{(3 - 2s)^3}}{3} + c$}$

Exercício: queda livre na Lua.

Na Lua, a aceleração da gravidade é $1,6\ m/s^2$. Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois. Quão fundo ela caiu? Qual era a velocidade no instante do impacto?

$\dfrac{dv}{dt} = 1,6$

$\displaystyle\int_0^{20} 1,6\ dt = \left.1,6t\right|_0^{20} = 32$

$\displaystyle\int_0^{20} v\ dt\ =\ \dfrac{5}{8}\displaystyle\int_0^{32} v\ dv\ =\ \dfrac{5}{8}\left.\dfrac{v^2}{2}\right|_0^{32} = 320$

$\fbox{$320$ metros, e $32$ m/s}$.

Obter a primitiva de $f(x) = \left(\sec \dfrac{\pi x}{2}\right)\left(\tan \dfrac{\pi x}{2}\right)$.

$f(x) = \dfrac{\sin \dfrac{\pi x}{2}}{\cos^2 \dfrac{\pi x}{2}}$

Seja $u = \cos \dfrac{\pi x}{2}$, $du = -\dfrac{\pi}{2}\sin \dfrac{\pi x}{2}\ dx$.

$\displaystyle\int f(x)\ dx\ =\ -\dfrac{2}{\pi} \displaystyle\int \dfrac{du}{u^2}\ =\ \dfrac{2}{\pi u} + c = \fbox{$\dfrac{2\sec \dfrac{\pi x}{2}}{\pi} + c$}$

Exercício: altura de um prédio.

Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.

$h = 8 + 8\tan (105^\text{o} - 45^\text{o}) = 8 + 8\sqrt{3} = \fbox{$8(1 + \sqrt{3})\ \text{m}$}$

Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos quando marcam $2:40$?

$\theta = 2\pi \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{\pi}{6} \cdot \left(2 + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{4\pi}{9} = \dfrac{8\pi}{9}\ \text{rad}\ = \fbox{$160^\text{o}$}$

Exercício: altura de um degrau.

João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.

$8h = 2\sin \dfrac{\pi}{6} = 1\ \therefore\ h = 0,125 \text{m} = \fbox{$12,5 \text{cm}$}$

Exercício: determinar um lado em um triângulo.

Encontrar o valor de $x$.

$x = \dfrac{3\ \text{cm}}{\cos 30^o} = \fbox{$2\sqrt{3}\ \text{cm}$}$

Encontrar a derivada de $f(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}$.

$f'(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)} \cdot \dfrac{\cancel{x} + 1 - \cancel{x} + 1}{(x + 1)^2} = \fbox{$\dfrac{2e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}}{(x^2 + 2x + 1)}$}$

Meme: você só pensa em Matemática.

 

$10$ pessoas são escolhidas para formar dois times de futsal. Qual o número de maneiras diferentes que podemos formar os dois times.

$\displaystyle{10 \choose 5} = 252$

Como cada par foi contado duas vezes, teremos $\dfrac{252}{2} = \fbox{$126$}$ pares de times distintos.

Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo.

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$

$A = \{2, 3, 5\}$

$P(A) = \dfrac{\cancelto{1}{3}}{\bcancelto{4}{12}} = \fbox{$25 \%$}$

No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Os resultados do evento são $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ e $(5, 1)$. Logo, chamando tal evento de $A$, $n(A) = 5$.

Logo $\fbox{$P(A) = \dfrac{5}{36}$}$.

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Imaginemos todos os conjuntos em que cada elemento é uma ordem em que o $5$ surgirá. Serão em número de $\displaystyle{7 \choose 3} = 35$.

O número de elementos do evento do qual desejamos saber a probabilidade será $5^4 \cdot 35$.

Logo a probabilidade procurada será $P = \dfrac{5^4 \cdot 35}{6^7} \approx \fbox{$7,8 \%$}$.

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Calculemos o número de elementos do evento $A$: permutações de $5$ elementos em que um se repete $2$ vezes e o outro $3$ vezes.

$n(A) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$

Logo a probabilidade do evento $A$ é $P(A) = \dfrac{10}{2^5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = \fbox{$31,25 \%$}$.

Encontrar as 3 primeiras derivadas de $y = \sqrt{5x}$.

$y' = \dfrac{5}{2\sqrt{5x}}$

$y'' = \dfrac{-25}{4\sqrt{(5x)^3}}$

$y''' = \dfrac{375}{8\sqrt{(5x)^5}}$

Obter a derivada de $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}} \cdot \dfrac{\cancel{3x} - 2 - \cancel{3x} - 3}{9x^2 - 12x + 4} = \fbox{$\dfrac{-5}{(18x^2 - 24x + 8)} \cdot \sqrt{\dfrac{3x - 2}{x + 1}}$}$

Let $f(x) = g(x^2 + 1)$, where $g’(2) = 3$ and $g”(2) = 5$. Compute $f”(1)$.

$f'(x) = g'(x^2 + 1) \cdot 2x$

$f''(x) = g''(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot 2x + g'(x^2 + 1) \cdot 2$

$f''(1) = g''(2) \cdot 2 \cdot 2 + g'(2) \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = \fbox{$26$}$

Calcular $f'(x) = \left(\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}\right)'$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$