Observemos inicialmente que $|f(0)| \le |0|^k = 0$, logo $f(0) = 0$.
$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$
Como $0 \le |f(x)| \le |x|^k$:
(I): $\lim_{h \rightarrow 0 ^+} \dfrac{0}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|h|^k}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.
(II): $\lim_{h \rightarrow 0 ^-} \dfrac{|h|^k}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{0}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.
Por (I) e (II), e pelo teorema do confronto, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = 0$.
Se $f(h) \ge 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.
Se $f(h) < 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(h)}{h} = -\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.
Em ambos os casos, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h} = 0$, logo $\fbox{$f'(0) = 0$}$.
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
Última atualização estrutural do weblog: 07-07-2023.
Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.
Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.
Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.
Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.
Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.
Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.
Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
domingo, 31 de maio de 2020
terça-feira, 19 de maio de 2020
Derivada do $\arcsin x$.
Seja $f$ bijetiva, logo existe $f^{-1}$.
Se $f^{-1}$ é diferenciável em seu domínio e $f'(x) \neq 0$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$.
Seja $(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})$ o domínio de $\sin x$:
$\arcsin' x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}$
$\fbox{$\arcsin' x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$}$
Se $f^{-1}$ é diferenciável em seu domínio e $f'(x) \neq 0$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$.
Seja $(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})$ o domínio de $\sin x$:
$\arcsin' x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}$
domingo, 17 de maio de 2020
Exercício: unicidade de uma função dada sua derivada e um ponto.
Exercício: mostre que existe uma única função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $h'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $h(0) = 1$.
Resolução:
Seja $g$ uma função real tal que $g'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $g(0) = 1$, definamos $f(x) = g(x) - h(x)$.
$f'(x) = g'(x) - h'(x) = 0$, logo, pelo TVI, $f$ é constante.
$f(0) = g(0) - h(0) = 1 - 1 = 0$
Sendo $f(x) = 0$, $g(x) = h(x)$.
Resolução:
Seja $g$ uma função real tal que $g'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $g(0) = 1$, definamos $f(x) = g(x) - h(x)$.
$f'(x) = g'(x) - h'(x) = 0$, logo, pelo TVI, $f$ é constante.
$f(0) = g(0) - h(0) = 1 - 1 = 0$
Sendo $f(x) = 0$, $g(x) = h(x)$.
sexta-feira, 15 de maio de 2020
Exercício: seja $b^2 \ge 4ac$ e $b > 0$, encontre $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Resolução:
$\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} =$
$= \dfrac{b^2 - 4ac - b^2}{(2a)(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} = \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}$
Logo $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} =$
$= \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2c}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \fbox{$-\dfrac{c}{b}$}$
terça-feira, 12 de maio de 2020
segunda-feira, 11 de maio de 2020
domingo, 10 de maio de 2020
Exercício: encontre a derivada de $f(x) = x^x$, $x > 0$.
$x^x = (e^{\log x})^x = e^{x\log x}$
Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$
Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$
domingo, 5 de abril de 2020
cloudHQ: um agradecimento por quão útil foi e me é.
Uso a internet há muitos anos, e ela tem me ajudado em muitos e muitos aspectos, desde o desenvolvimento intrapessoal, ao profissional.
Tudo começou como entretenimento e fontes de estudo, mas depois a coisa foi ficando mais séria: comecei a criar sites e softwares, e manter cópias de backup de arquivos tornou-se uma necessidade fundamental, imaginemos, por exemplo, uma empresa que precisa manter os dados dos seus valiosos e preciosos clientes...
Muitas ferramentas e softwares me foram úteis, e, hoje, vim agradecer a um em especial, o cloudHQ.
Trata-se de um serviço que faz, dentre outras coisas, a sincronização de arquivos entre vários outros serviços de nuvem, como, dentre outros, Dropbox, Google Drive, Microsoft Onedrive, Box, e o russo Yandex, estes que utilizo.
Como tenho muitos registros a guardar, em especial deste blog de Matemática, ele foi e é de sumária importância para mim.
Costumo assim o utilizar: depois de uma quantidade substancial de arquivos produzidos, para sentir-me seguro quanto a os manter seguros através de ter várias cópias, basta acionar a sincronização que o cloudHQ faz o trabalho para mim.
Atualmente tenho 122 pares de sincronização, pares de diretórios, onde, dependendo das opções customizáveis, os arquivos são copiados de um para outro.
Nas poucas vezes que precisei consultar o suporte, ele foi rápido em responder e resolver.
O serviço, em sua versão gratuita, sincroniza arquivos até o tamanho máximo de 150 Mb, o que não é um fator limitante para pequenos empreendimentos.
Repetindo, ele me é útil tanto pessoalmente quanto profissionalmente, deixa-me tranquilo quanto à segurança dos arquivos que me são importantes, recomendo.
Link: "https://www.cloudhq.net".
sexta-feira, 6 de março de 2020
Calculadora: encontrar fração geratriz.
Entre com o número real a ser encontrada a fração geratriz.
Exemplo:
Input: "1.274".
Output: "637 / 500".
Fração geratriz:
Exemplo:
Input: "1.274".
Output: "637 / 500".
Fração geratriz:
domingo, 1 de março de 2020
Calculadora: derivada de uma função em um ponto.
Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a função, deve ser na variável "x"; segundo: um número real, ponto do domínio da função; terceiro: "0", "1" ou "2", caso deseje se encontrar a derivada 0, 1, ou 2, respectivamente.
Exemplos:
Input: "x * x * x; 4; 2".
Output: aproximadamente "24".
Input: "cos(x + ln(x)); pi; 1".
Output: aproximadamente "1.5".
Derivada no ponto (trata-se de uma aproximação):
Exemplos:
Input: "x * x * x; 4; 2".
Output: aproximadamente "24".
Input: "cos(x + ln(x)); pi; 1".
Output: aproximadamente "1.5".
Derivada no ponto (trata-se de uma aproximação):
sábado, 29 de fevereiro de 2020
Calculadora: produtório.
Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do produtório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.
Exemplo:
Input: "n; 1; 5".
Output: "120".
Input: "cos(n) + 1; 1; 4".
Output: aproximadamente "0.003".
Produtório:
Exemplo:
Input: "n; 1; 5".
Output: "120".
Input: "cos(n) + 1; 1; 4".
Output: aproximadamente "0.003".
|
Produtório:
Calculadora: somatório.
Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do somatório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.
Exemplos:
Input: "n; 1; 5".
Output: "15".
Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".
Somatório:
Exemplos:
Input: "n; 1; 5".
Output: "15".
Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".
|
Somatório:
sexta-feira, 28 de fevereiro de 2020
Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.
Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.
Exemplos:
Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".
Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".
Integral definida, aproximação por soma de Riemann:
Exemplos:
Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".
Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".
|
Integral definida, aproximação por soma de Riemann:
terça-feira, 25 de fevereiro de 2020
Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.
$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$
$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$
$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$
$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$
$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$
$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$
$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$
Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.
$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$
$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$
$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$
$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$
$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$
$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$
$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$
sábado, 22 de fevereiro de 2020
Demonstração: $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$.
$\cosh (x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$
$= \dfrac{4}{4} = 1$
$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$
$= \dfrac{4}{4} = 1$
sexta-feira, 21 de fevereiro de 2020
Comprimento do gráfico de uma função polinomial.
Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.
Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:
$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$
Assim:
$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$
$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$
Exemplo:
Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:
$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$
Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.
$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$
$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$
$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$
Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:
$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$
Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:
$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$
Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:
Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:
Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:
$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$
$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$
$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$
$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$
Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.
Construindo a tabela com auxílio de um software:
quinta-feira, 20 de fevereiro de 2020
Volume da esfera.
Para tal fim, vamos utilizar, do Cálculo, o método dos discos.
Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.
Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.
Seu volume será calculado pela fórmula:
$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$
$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$
$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$
Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.
Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.
Seu volume será calculado pela fórmula:
$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$
$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$
$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$
Integral da secante.
Sendo $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$, podemos escrever:
$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$
Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.
Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.
Assim:
$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$
$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$
Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.
Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.
Assim:
$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$
Assinar:
Postagens (Atom)