Brincando com relações #2.

$(\sin x)(\cos x) =\ \dfrac{\sin(2x)}{2}$

Brincando com relações #3.

$\sum_{p=1}^n p\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$

Somas e produtos de pares e ímpares.

$(a,b) \in \{2n \colon n \in Z\}^2\ \wedge\ (c,d) \in \{2n+1 \colon n \in Z\}^2 \Rightarrow$
$a + c = 2 m_1 + 1\ \wedge\ ac = 2 m_2\ \wedge\ a + b = 2 m_3\ \wedge$
$\wedge\ ab = 2 m_4\ \wedge\ c + d = 2 m_5\ \wedge\ cd = 2 m_6 + 1\ ,$
$m_i \in Z\ ,\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Uma curiosidade interessante sobre salto com vara.

Uma curiosidade interessante:

O recorde mundial de salto com vara é do ucaniano Sergei Bubka, com $6,14 m$.

Mas antes vamos pensar sobre o recorde mundial dos 100 metros rasos.

Seu detentor é o jamaicano Usain Bolt, com $9,58$ segundos.

Vamos considerar um homem ainda mais rápido, com velocidade de $\dfrac{100}{9,5}\ \approx\ 10,5 m/s$.

Em condições ideais, se o Bolt fosse saltador, toda sua energia cinética será transferida para deformação da vara, de tal forma que toda sua velocidade seria transferida para a direção vertical.

Assim temos: $0\ =\ 10,5^2 - 2\cdot 9,8\cdot h\ \Rightarrow\ h\ =\ 5,625 m$. Aproximadamente meio metro abaixo da marca mundial.

$m/s^2$ to $km/h^2$.

É fácil de encontrar em livros que para converter $m/s$ para $km/h$ basta multiplicar o coeficiente por $3,6$. Mas e quanto à aceleração?

$x\ \frac{m}{s^2}\ =\ x\ \frac{10^{-3}km}{\frac{1}{3600^2} h^2}\ =\ x\cdot 12960\ \frac{km}{h^2}$

$12960$ é o fator multiplicativo. Ou divisor quando da conversão inversa.

Um cálculo sobre soma de consecutivos.

Estava a caminhar pela Boa Vista quando olhei para a logomarca da Prefeitura do Recife:

Perguntei-me quantos círculos há. É evidente que são $7$. Mas decidi fazer o cálculo de uma forma diferente:

Imaginemos uma pirâmide formada de círculos em que a base tem $4$ círculos. O número total de círculos será a soma dos termos de uma PA, a soma dos primeiros $4$ inteiros:

Para $m = 4$ temos $S = 10$.

Mas retirando-se a parte superior da pirâmide considerada, teremos $m = 2$ e $S = 3$, de tal forma que o cálculo ficou:

Considerações sobre a matriz de Vandermonde.

Uma matriz de Vandermonde, também chamada de matriz de potências, é toda matriz da forma:

Os elementos são chamados os elementos característicos da matriz de Vandermonde. E seu determinante é sintetizado pela expressão .


O determinante de tal pode ser obtido pela regra de Chió e será o produto de todas as possíveis diferenças entre os elementos característicos tal que o minuendo terá que ser de ordem maior que o subtraendo. A demonstração irei omitir nesta postagem. Em termos gerais:

_____

Consideração:

Quantos fatores haverá no cálculo de ?

Notemos que para o minuendo de índice n teremos n-1 subtraendos; para o minuendo de índice n-1 teremos n-2 subtraendos; ... ; para o minuendo de índice 2 teremos 1 subtraendo. Logo teremos como quantidade de diferenças a soma dos n-1 primeiros inteiros positivos.

Lembremos da soma dos m primeiros inteiros positivos, cuja fórmula pode ser obtida pelo estudo de progressões aritméticas:

tomando m = n-1, e considerando a c como a função cujo domínio é o conjunto dos produtórios de expressões algébricas e contra-domínio a quantidade de fatores, teremos:

Determinante de matrizes de elementos consecutivos.

Consideremos as matrizes :


Elas possuem elementos ordenados consecutivos.

Em termos gerais temos:

O problema que iremos resolver é calcular seu determinante.

Pela propriedade da soma de determinantes, o de tal matriz será:

Onde a primeira parcela, por ter linhas iguais, será nulo.

Observemos que na segunda parcela, a matriz tem a última linha como uma combinação linear das linhas 1, multiplicada por $1$, e a 2, multiplicada por $n - 1$, logo seu determinante também é nulo. Conclusão: