 |
Observemos que $257$ é ímpar, e todos os números primos, com exceção do $2$, são ímpares; como a soma de dois ímpares é par, uma parcela deve ser o $2$. Assim teríamos
$257 = 2 + 255$
Mas $255$ não é primo, logo não há uma forma sequer de escrever $257$ como a soma de dois primos.
Em um gás ideal, a energia cinética média de uma partícula é dada por $e_c = \dfrac{3}{2}kT$, $k$ a constante de Boltzmann, e $T$ a temperatura absoluta.
Por que não poderíamos imaginarmos viver imersos em um gás cujas partículas são de dimensões familiares à nossa realidade, tal como um corpo esférico dotado de massa e velocidade?
Assim poderíamos atribuir uma temperatura a um objeto considerando apenas ele com sua energia cinética, não sua temperatura no sentido convencional, mas uma nova, que chamarei de Temperatura de Antonio Vandré.
Assim, a Temperatura de Antonio Vandré será dada pela fórmula:
$\fbox{$T_a = \dfrac{mv^2}{3k}$}$
Exemplo:
Seja um corpo de $1\ kg$ movendo-se a $1\ m/s$, sua temperatura de Antonio Vandré será:
$T_a \approx \dfrac{1}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2,42 \cdot 10^{22}\ K$
Seja uma curva no espaço dada por
$\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$
Seja $C$ a soma de todas as distâncias entre os pontos de coordenadas $[f(t_{i+1}), g(t_{i+1}), h(t_{i+1}),]$, e $[f(t_i), g(t_i), h(t_i)]$, $t \in (a, b)$.
$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f(t_{i+1}) - f(t_i)]^2 + [g(t_{i+1}) - g(t_i)]^2 + [h(t_{i+1}) - h(t_i)]^2}$.
Sejam $t_{k_i}$ tais que $t_i \le t_{k_i} \le t_{i+1}$. Pelo Teorema do Valor Médio:
$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[(t_{i+1} - t_i)f'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)g'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)h'(t_{k_i})]^2} =$
$= \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f'(t_{k_i})]^2 + [g'(t_{k_i})]^2 + [h'(t_{k_i})]^2}(t_{i+1} - t_i)$
Logo, pela definição de integral:
$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\ dt$}$
Exemplo:
Seja a helicoidal
$\begin{cases}x = \cos t\\ y = \sin t\\ z = \dfrac{t}{2}\end{cases}$.
O comprimento dela de $t = 0$ a $t = 2\pi$ é
$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \dfrac{1}{4}}\ dt = \sqrt{5}\pi$.
Para $r = 0$ a igualdade é imediata.
Seja $r > 0$, $-r$ é negativo, logo $|-r| = -(-r) = r = |r|$.
Seja $r < 0$, $-r$ é positivo, logo $|-r| = -r = |r|$.
Quod Erat Demonstrandum.
Muitas vezes desejamos apenas relaxar com uma atividade leve, não muito psiquicamente exigente. Pensando nisto criei um joguinho com cartas que nomeei de "funções". Explico.
Primeiramente criamos mentalmente uma função de duas variáveis; à primeira variável atribuímos valores de 1 a 13, de acordo com o número de uma carta retirada, 11 para o caso de valete, 12 para a dama e 13 para o rei; à segunda variável atribuímos os valores de 1 a 4, de acordo com o naipe, 1 se paus, 2 se ouros, 3 se copas e 4 se espadas.
De um deck embaralhado, vamos retirando uma a uma todas as cartas e calculando o valor da função para o par de variáveis.
Exemplo:
Se criarmos a função $f(x, y) = x + y$, $x$ o correspondente ao número e $y$ o correspondente ao naipe, e retirarmos uma dama de copas, a resposta correta à carta é $f(12, 3) = 12 + 3 = 15$.
Frequência horária de uso:
| 00h | 23h |
Frequência diária semanal:
| Segunda | Domingo |
Frequência mensal:
| Janeiro | Dezembro |
Observemos inicialmente que qualquer $x$ positivo satisfaz.
Para $x < 0$ teremos:
$1 < -x\ \Rightarrow\ x < -1$
Logo $\fbox{$S = (-\infty, -1) \cup \mathbb{R}^*_+$}$.
Olhando para o denominador do primeiro membro, devemos considerar as possibilidades do mesmo ser positivo ou negativo, assim:
$x < 2\ \Rightarrow\ 3x - 1 > -20 + 10x\ \Rightarrow\ x < \dfrac{19}{7}$
$x > 2\ \Rightarrow\ 3x - 1 < -20 + 10x\ \Rightarrow\ x > \dfrac{19}{7}$
Logo $\fbox{$S = (-\infty, 2)\ \cup\ \left(\dfrac{19}{7}, +\infty\right)$}$.
Um ônibus faz o percurso entre as cidades A e B a uma velocidade de $72\ km/h$. ao chegar à cidade B, retorna para A com uma velocidade de $48\ km/h$. Qual é a sua velocidade média?
$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{48}} = \dfrac{2 \cdot 144}{2 + 3} = \fbox{$57,6\ km/h$}$
A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como $3$ está para $1$. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de $24$ anos?
Seja $f$ a idade do filho.
$3f - f = 24\ \Rightarrow\ \fbox{$f = 12$}\ \Rightarrow\ \fbox{$3f = 36$}$
Uma impressora laser realiza um serviço em $7$ horas e meia, trabalhando na velocidade de $5000$ páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca, mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de $3000$ páginas por hora, em quanto tempo executará o serviço?
A quantidade de páginas impressas pela primeira impressora foi $5000 \cdot 7,5 = 37500$ páginas.
A segunda impressora executará o mesmo serviço em $\dfrac{37500}{3000} = 12,5$ horas, ou $\fbox{$12 \text{ horas e } 30 \text{ minutos}$}$.
Numa escola de apenas $800$ alunos, é sabido que $200$ deles gostam de pagode; $300$ de rock e $130$ de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?
$800 - (200 + 300 - 130) = \fbox{$430$}$
Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de sua conta no Banco Alpha possui $3$ unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é igual a $24$ unidades monetárias. Quais os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus?
Sejam $a$ o saldo no banco Alpha e $\ell$ o saldo no banco Lótus.
$\begin{array}{l c r}a = \ell - 3 & & 2a + 3\ell = 24\end{array}$
$2(\ell - 3) + 3\ell = 24\ \Rightarrow \fbox{$\ell = 6\ \wedge\ a = 3$}$
Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a $77$ anos, qual a idade de Benedita daqui a $8$ anos?
Sejam $i$ a idade de Isaura, $j$ a idade de juraci, e $b$ a idade de Benedita.
$\begin{array}{l c c c r}i = 2j & & j = b + 1 & & i + j + b + 6 = 77\end{array}$
$2b + 2 + b + 1 + b = 71\ \Rightarrow\ b + 8 = \fbox{$25$}$
A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?
Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.
$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$
$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$
A razão é $0,2$.
$a_5 = 2000 \cdot 0,2^4 = 2000 \cdot 0,0016 = \fbox{$\dfrac{16}{5}$}$
$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$
Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2k + 1} > \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\ \Rightarrow\ 2k + 1 < -1\ \Rightarrow\ k < -1$
$\fbox{$S\ =\ ]-\infty, -1[$}$
$\dfrac{4^x}{9^x} + \dfrac{6^x}{9^x} - 2 = 0\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1\ \Rightarrow\ x = 0$
$\fbox{$S = \{0\}$}$
