Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4}$}$

Seja $f(x) = 2|x|$, mostre que não existe $f'(0)$.

Seja $L_1 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{2(x + h) - 2x}{h}$, $L_1 = 2$.

Seja $L_2 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-2(x + h) + 2x}{h}$, $L_2 = -2$.

Como $L_1 \neq L_2$, $\not{\exists}\ f'(0)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calcular $f(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{\sin x} 3t^2\ dt$.

$f(x) = \dfrac{d}{dx} \left.t^3\right|_1^{\sin x} = \dfrac{d}{dx} (\sin^3 x - \sin 1) = \fbox{$3(\sin^2 x)(\cos x)$}$

Determine a curva $y = f(x)$ no plano $xy$ que passa pelo ponto $(9, 4)$ e cujo coeficiente angular em cada ponto é $3\sqrt{x}$.

$\dfrac{d}{dx}f(x) = 3\sqrt{x}\ \Rightarrow\ f(x) = 2\sqrt{x^3} + c$

$f(9) = 4\ \Rightarrow\ c = -50\ \Rightarrow\ \fbox{$f(x) = 2\sqrt{x^3} - 50$}$

Exercício: queda livre na Lua.

Na Lua, a aceleração da gravidade é $1,6\ m/s^2$. Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois. Quão fundo ela caiu? Qual era a velocidade no instante do impacto?

$\dfrac{dv}{dt} = 1,6$

$\displaystyle\int_0^{20} 1,6\ dt = \left.1,6t\right|_0^{20} = 32$

$\displaystyle\int_0^{20} v\ dt\ =\ \dfrac{5}{8}\displaystyle\int_0^{32} v\ dv\ =\ \dfrac{5}{8}\left.\dfrac{v^2}{2}\right|_0^{32} = 320$

$\fbox{$320$ metros, e $32$ m/s}$.

Encontrar a derivada de $f(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}$.

$f'(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)} \cdot \dfrac{\cancel{x} + 1 - \cancel{x} + 1}{(x + 1)^2} = \fbox{$\dfrac{2e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}}{(x^2 + 2x + 1)}$}$

Encontrar as 3 primeiras derivadas de $y = \sqrt{5x}$.

$y' = \dfrac{5}{2\sqrt{5x}}$

$y'' = \dfrac{-25}{4\sqrt{(5x)^3}}$

$y''' = \dfrac{375}{8\sqrt{(5x)^5}}$

Obter a derivada de $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}} \cdot \dfrac{\cancel{3x} - 2 - \cancel{3x} - 3}{9x^2 - 12x + 4} = \fbox{$\dfrac{-5}{(18x^2 - 24x + 8)} \cdot \sqrt{\dfrac{3x - 2}{x + 1}}$}$

Let $f(x) = g(x^2 + 1)$, where $g’(2) = 3$ and $g”(2) = 5$. Compute $f”(1)$.

$f'(x) = g'(x^2 + 1) \cdot 2x$

$f''(x) = g''(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot 2x + g'(x^2 + 1) \cdot 2$

$f''(1) = g''(2) \cdot 2 \cdot 2 + g'(2) \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = \fbox{$26$}$

Calcular $f'(x) = \left(\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}\right)'$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Calcular $\left(\sqrt{x}\sin x\right)'$.

$\left(\sqrt{x}\sin x\right)' = (\cos x)\sqrt{x} + \dfrac{(\sin x)}{2\sqrt{x}} = \fbox{$\dfrac{2x\cos x + \sin x}{2\sqrt{x}}$}$

Se $2x^2 - y^3 - 1 = 0$, encontrar $y'$.

Derivando implicitamente:

$4x - 3y^2 y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$y' = \dfrac{4x}{3y^2}$}$.

Se $f(x) = \cot x^3$, encontrar $f'(x)$.

Utilizando a regra da cadeia: $\fbox{$f'(x) = -3\left(\csc^2 x^3\right)x^2$}$.

Uma série para $e$.

A constante $e$ é a base dos logaritmos naturais, é definida por $e = \displaystyle\lim_{x\ \rightarrow \ +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.

Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,

$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.

Derivada da inversa da função corda.

Sabendo que $arccord\ x = \arccos \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)$, utilizando a regra da cadeia:

$(arccord\ x)' = \dfrac{x}{\sqrt{1 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)^2}} = \fbox{$\dfrac{2}{\sqrt{4 - x^2}}$}$.

A inversa, a derivada, e a integral da função corda.

${\large cord\ \alpha = \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}}$

Inversa: seja $arccord: \underset{x\ \mapsto\ arccord\ x}{[0, 2] \rightarrow [0, \pi]},\ \fbox{$arccord\ x = \arccos \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)$}$.

Derivada: $\fbox{$(cord\ \alpha)' = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{2 - 2\cos \alpha}}$}$.

Observemos que, para $0 \le \alpha \le 2\pi$, $cord\ \alpha = 2\sin \dfrac{\alpha}{2}$.

Logo,

$\fbox{$\displaystyle\int cord\ \alpha\ d\alpha\ =\ -4\cos \dfrac{\beta}{2} + c,\ \alpha = 2k\pi + \beta,\ k \in \mathbb{Z}, 0 \le \beta < 2\pi$}$.

Raio de curvatura de Antonio Vandré.

O raio de uma curva $f(x)$ em $x = x_0$ é dado por $\mathcal{RC_A}_{[f(x), x_0]} = \sqrt{\sigma^2 + \left( \dfrac{\sigma}{f'(x_0)}\right)^2}$,

$\sigma = \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} \left\{x_0 - \dfrac{f'(x)[x_0 + f(x_0)f'(x_0)] - f'(x_0)[x + f(x)f'(x)]}{f'(x) - f'(x_0)}\right\}$.

Demonstração:

Sejam duas retas ortogonais não paralelas a $f(x)$:

$\begin{cases}y - f(a) = \dfrac{-1}{f'(a)}(x - a)\ {\Large (I)}\\ y - f(b) = \dfrac{-1}{f'(b)}(x - b)\end{cases}$.

Terão interseção em $x = \delta = \dfrac{f'(b)[a + f(a)f'(a)] - f'(a)[b + f(b)f'(b)]}{f'(b) - f'(a)}$.\\

Calculando a ordenada em (I), substituindo $a$ por $x_0$, $b$ por $x$ e tomando $\sigma = \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} x - \delta$,

$\fbox{$\mathcal{RC_A}_{[f(x), x_0]} = \sqrt{\sigma^2 + \left(\dfrac{\sigma}{f'(x_0)}\right)^2}$}$.

Exemplo: $f(x) = x^2$ e $x_0 = 1$:

$\sigma = 5\ \Rightarrow\ \mathcal{RC_A}_{[x^2, 1]} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$.

Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.

Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.

Resolução:

Vamos supor que $v_1$ e $v_2$ sejam LD, ou seja, que existam $a$ e $b$ reais, $a \neq 0\ \vee\ b \neq 0$, tais que $av_1 + bv_2 = 0$.

$ae^x + be^{2x} = 0$ ${\Large (I)}$

Diferenciando:

$ae^x + 2be^{2x} = 0$ ${\Large (II)}$

Subtraindo (I) de (II):

$be^{2x} = 0\ \Rightarrow\ b = 0$ ${\Large (III)}$

Substituindo (III) em (I):

$ae^x = 0\ \Rightarrow\ a = 0$

Onde temos uma contradição com a hipótese de que ao menos um coeficiente deve ser não nulo. Logo, por absurdo, $e^x$ e $e^{2x}$ são linearmente independentes.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.

Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.

Resolução:

Sejam $f$, $g$ e $h$ funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, e $a$ e $b$ escalares reais (os reais são um corpo).

$\begin{array}{l c l}(f + g) + h = f + (g + h) &  & 0 + f = f + 0 = f\\ f + (-1)f = 0 &  & f + g = g + f\\ a(f + g) = af + ag &  & (a + b)f = af + bf\\ (ab)f = a(bf) &  & 1f = f\end{array}$

Logo $V$ é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$.

Observemos que, se $f$ e $g$ são contínuas, então $f + g$ será contínua, e que, sendo $a$ um escalar real, $af$ também será contínua. Observemos também que a função constante $0$ também é contínua.

Logo $W$ é sub-espaço de $V$.

Sendo $f$ e $g$ diferenciáveis, $f + g$ também é diferenciável. Sendo $a$ um escalar real, $af$ também é diferenciável. A função nula $0$ também é diferenciável.

Logo $U$ é sub-espaço de $W$ (e também de $V$).

Quod Erat Demonstrandum.