Calculadora: superfície de revolução gerada por curva por coordenadas paramétrico-polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: um número real como valor inferior; quarto: um número real como valor superior; quinto: a abscissa do centro de expansão radial; sexto: a ordenada do centro de expansão radial; sétimo: o raio de expansão radial; oitavo: a rotação do eixo $Ox$; nono: a rotação do eixo $Oy$; décimo: "x" para rotacionar em torno do eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar em torno do eixo $Oy$; décimo-primeiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^6 + 5x^3} - x^3\right)$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\cancel{x^6} + 5x^3 - \cancel{x^6}}{\sqrt{x^6 + 5x^3} + x^3}\right) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{\dfrac{x^6 + 5x^3}{x^6}} + \dfrac{x^3}{x^3}}\right) =$

 

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{1 + \cancelto{0}{\dfrac{5}{x^3}}} + 1}\right) = \fbox{$\dfrac{5}{2}$}$

Exercício: idade verdadeira dada uma omissão fracionária.

Carlos disse que tinha $28$ anos de idade, entretanto omitiu $\dfrac{1}{5}$ dela. Qual sua idade verdadeira?

 

Resolução:

Se omitiu $\dfrac{1}{5}$, $28$ corresponde a $\dfrac{4}{5}$ de sua idade verdadeira, logo sua idade verdadeira $I$ é tal que

$I = \dfrac{28}{4/5} = \fbox{$35$ anos.}$

Exercício: determinando uma variável para que uma sequência seja uma PG.

Determine os valores de $x$, em radianos, de modo que $\dfrac{\sin x}{2}$, $\sin x$ e $\tan x$ formem uma PG.

 

$\sin^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{2\cos x}\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ \cos x = \dfrac{1}{2}$

$\fbox{$x = k\pi\ \vee\ x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\ \vee\ x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$}$.

Exercício: soma de somas de termos de PGs.

Calcule o valor da soma:

 

$S = \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9^2} + \dfrac{1}{9^3} + \dots\right) + $

$+ \dots + \left(\dfrac{1}{2^n + 1} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^2} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^3} + \dots\right) + \dots$.

Resolução:

$S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots + \dfrac{1}{2^n} + \dots = \fbox{$1$}$.

Três lados de um triângulo retângulo estão em PG. Qual a razão?

Seja $a$ o menor lado e $q$ a razão:

$\cancel{a^2} q^4 = \cancel{a^2} q^2 + \cancel{a^2}\ \Rightarrow\ q^4 - q^2 - 1 = 0$.

Como $q$ deve ser real e positivo, $\fbox{$q = \sqrt{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}}$}$.

Calculadora: simétrica de uma curva tridimensional por coordenadas paramétrico-polares com relação a um plano.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: as expressões das funções para $\phi$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; quarto: o coeficiente de $x$ do plano de referência; quinto: o coeficiente de $y$ do plano de referência; sexto: o coeficiente de $z$ do plano de referência; sétimo: o coeficiente independente do plano de referência; oitavo: "0" para não mostrar o plano de simetria e as superfícies originais, ou "1" para mostrar; nono: um número real como valor inferior para $t$; décimo: um número real como valor superior para $t$; décimo-primeiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: