Calculadora: gráfico simétrico de uma função com relação a uma reta.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos simétricos, devem ser funções em $x$; segundo: o coeficiente de $x$ na reta de referência; terceiro: o coeficiente de $y$ na reta de referência; quarto: o coeficiente independente na reta de referência; a reta de referência é da forma $ax + by + c = 0$; quinto: "0" para não mostrar a reta e o gráfico origem, ou "1" para mostrar; sexto: um número real como valor inferior; sétimo: um número real como valor superior; oitavo: a abscissa do centro de expansão radial; nono: a ordenada do centro de expansão radial; décimo: o raio de expansão radial; décimo primeiro: a rotação do eixo $Ox$; décimo segundo: a rotação do eixo $Oy$; décimo terceiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: gráfico simétrico de uma função com relação a um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos simétricos, devem ser funções em $x$; segundo: a abscissa do ponto de referência; terceiro: a ordenada do ponto de referência; quarto: "0" para não mostrar o gráfico origem ou "1" para mostrar; quinto: um número real como valor inferior; sexto: um número real como valor superior; sétimo: a abscissa do centro de expansão radial; oitavo: a ordenada do centro de expansão radial; nono: o raio de expansão radial; décimo: a rotação do eixo $Ox$; décimo primeiro: a rotação do eixo $Oy$; décimo segundo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: intersecções entre duas circunferências.

Entre com uma string contendo separadas por barra vertical "|", as circunferências consistindo da abscissa de seu centro, a ordenada de seu centro, e o seu raio, separados por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input: "0; 0; 1 | 3; 0; 2".

Output: "1, 0".




Intersecções entre as circunferências:

Meme: Matemática sagrada.

 

Sejam $U$ e $W$ subespaços de dimensões finitas de um espaço vetorial $V$, mostre que $dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$.

Sejam $\{u_1, \dots , u_m\}$ uma base de $U$ e $\{w_1, \dots , w_n\}$ uma base de $W$, $\{u_1,\dots , u_m, w_1,\dots ,w_n\}$ gera $U + W$.

Seja $\{u_{i_1}, \dots , u_{i_p}, w_{j_1}, \dots , w_{j_q}\}$ um subconjunto independente maximal de $U + W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U + W)\ =\ p + q$

e, além disto,

$\{u_{i_{p+1}}, \dots , u_{i_m}, w_{j_{q+1}}, w_{j_n}\}$ é uma base de $U \cap W$, logo

    $\bullet$ $dim\ (U \cap W) = m - p + n - q$.

Como $p + q = m + n - (m - p + n - q)$,

 

$\fbox{$dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: intersecções entre uma reta e uma circunferência.

Entre com uma string contendo separadas por barra vertical "|", a reta na forma $ax + by + c = 0$ com coeficientes $a$, $b$ e $c$ separados por ponto e vírgula ";" e a circunferência consistindo da abscissa de seu centro, a ordenada de seu centro, e o seu raio, separados por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input:

"tg(2); fatorial(3); 3 | -log(10, 2); 2; 4".

Output:

"
-4.659751425365828, -4.696957102885669

-1.52247163510813, -3.554443535566035
".




Intersecções entre a reta e a circunferência:

Calculadora: intersecção entre duas retas.

Entre com, separadas por barra vertical "|", as retas na forma $ax + by + c = 0$ com coeficientes $a$, $b$ e $c$ separados por ponto e vírgula ";".

Exemplos:

Input: "1; 1; 0 | -1; 1; 3". Output: "3 / 2, -3 / 2".

Input: "pi; euler; 4 | 5; log(10, 2); 1". Output: "3.34977667, -5.342946278".




Intersecção das retas:

Calculadora: área da projeção de um triângulo em um plano.

Área da projeção de um triângulo em um plano. Argumentos: primeiro global: separado por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os vértices do triângulo com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$, do plano $ax + by + cz + d = 0$; segundo global: 0 para retornar string, ou 1 para retornar valor.

Exemplo:

Input: "2; pi; 1 | 2; 1; cos(3) | 2; 0; 0 || 3; 4; 5; log(3, 2)". Output: aproximadamente "0.8718951502761744".




Área do triângulo projetado:

Calculadora: área de um triângulo no espaço.

Entre com uma string separada por barra vertical "|" contendo os vértices do triângulo com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";".

Exemplo:

Input: "2; 0; 1 | 2; 1; 0 | 2; 0; 0". Output: aproximadamente "1 / 2".




Área do triângulo:

Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em um plano.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os pontos extremos do segmento com abscissas, ordenadas e cotas separadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$, do plano $ax + by + cz + d = 0$.

Exemplo:

Input: "1; 2; 3 | 3; 2; 3 || 0; 0; 1; 5". Output: "2".




Comprimento da projeção do segmento no plano:

Calculadora: comprimento da projeção de um segmento em uma reta.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: separados por barra vertical "|", os pontos extremos do segmento com abscissas separadas das ordenadas por ponto e vírgula ";"; segundo: coeficientes $a$, $b$ e $c$, da reta $ax + by + c = 0$.

Exemplo:

Input: "1; 2 | 3; 2 || 0; 1; 5". Output: "2".




Comprimento da projeção do segmento na reta:

Calculadora: ângulo entre dois vetores.

Entre com os argumentos separados por duas barras verticais "||": primeiro: uma string separada por barra vertical "|" onde cada elemento é um ponto onde as coordenadas são separadas por ponto e vírgula ";"; segundo "r" para radianos ou "g" para graus.

Exemplos:

Input: "0; 1 | 1; 0 || g". Output: aproximadamente "90".

Input: "0; pi; euler | cos(2); 3; log(5, 2) || r". Output: aproximadamente "0.12210119420839927".




Ângulo entre os dois vetores: