Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 3x - 4}$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{\cancel{(x + 4)}(x + 1)}{\cancel{(x + 4)}(x - 1)} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{x + 1}{x - 1} = \fbox{$\dfrac{3}{5}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_3 x + \log_9 x = 1$.

$\log_3 x + \dfrac{\log_3 x}{2} = 1\ \Rightarrow\ \log_3 x = \dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ x = \sqrt[3]{9}$

 

$\fbox{$S = \left\{\sqrt[3]{9}\right\}$}$

Exercício: gráfico de uma função composta.

Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.

 

$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$

 

Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.

Observemos que $Im_f \subset D_g$.

 

 

Meme: "Não funciona. Por quê?... Funciona. Por quê?...".

 

Calculadora: ponto simétrico.

Entre com, separados por barra vertical "|", o ponto do qual se deseja conhecer o simétrico, e o ponto de referência. Abscissas separadas das ordenadas por ponto e vírgula ";".

Exemplos:

Input: "2; 3 | 1; 1"". Output: "0, -1".

Input: "5; 4; -2 | 0; 0; 0". Output: "-5, -4, 2".




Ponto simétrico:

Calculadora: notação científica.

Entre com um número real:




Notação científica:

Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x}$.

$L = \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}} \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sec x = \fbox{$1$}$

Exercício: redução percentual por unidade de tempo.

O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?

 

$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$

Encontrar $I = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$.

$I = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x} \cdot \dfrac{15x}{15x} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot \dfrac{5x}{\sin 5x} \cdot \dfrac{3x}{5x} =$

$= \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{3x}} \cdot \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x}{\sin 5x}}\ \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3x}{5x} = \fbox{$\dfrac{3}{5}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\left(\log_x 2\right)\left(\log_{\frac{x}{16}} 2\right) = \log_{\frac{x}{64}} 2$.

$\dfrac{1}{\left(\log_2 x\right)\left(\log_2 \dfrac{x}{16}\right)} = \dfrac{1}{\log_2 \dfrac{x}{64}}\ \Rightarrow\ \left(\log_2 x\right)\left[\left(\log_2 x\right) - 4\right] = \left(\log_2 x\right) - 6\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \log_2 x = 2\ \vee\ \log_2 x = 3\ \Rightarrow\ x = 4\ \vee\ x = 8$

$\fbox{$S = \{4,\ 8\}$}$

Calcular $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} x + 3 = \fbox{$5$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\dfrac{1}{\log_x 8} + \dfrac{1}{\log_{2x} 8} + \dfrac{1}{\log_{4x} 8} = 2$.

$\log_8 x + \log_8 2x + \log_8 4x = 2\ \Rightarrow\ \log_8 8x^3 = 2\ \Rightarrow\ x = 2$

$\fbox{$S = \{2\}$}$

Meme: o segredo da paz é não ter bugs para resolver.

 

Calculadora: conversão entre moedas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro, a quantia; segundo, o código ISO de qual moeda converter; e, terceiro, o código ISO da moeda da qual se deseja conhecer a conversão.

Exemplo: entre com "1; USD; BRL".




Conversão:


Conversão rápida entre moedas populares:

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_{10} (x + 1) + \log_{10} (x + 3) = \log_{10} 3$.

$\log_{10} (x^2 + 4x + 3) = \log_{10} 3\ \Rightarrow\ x^2 + 4x = 0\ \Rightarrow\ \underset{\text{Não serve.}}{\underbrace{x = -4}}\ \vee\ x = 0$

$\fbox{$S = \{0\}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \sec(x)\csc(x)\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{2}{\sin(2x)}\ dx$

 

Seja $u = 2x$, $du = 2dx$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int \csc(u)\ du\ =\ -\log |\cot(u) + \csc(u)| + c = \fbox{$-\log |\cot(2x) + \csc(2x)| + c$}$

Meme: programadores e Matemáticos.

 

Calculadora: gráfico de linhas.

Entre com, separados por barra vertical "|" três argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | 128; 255; 128".

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{4x}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx$.

Seja $u = x^2 + 1$, $du = 2x\ dx$.

 

$I\ =\ 2\displaystyle\int_1^4 \dfrac{du}{\sqrt{u}} = 4\left.\sqrt{u}\right|_1^4 = \fbox{$4$}$

Exercícios: combos de uma lanchonete.

Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher $4$ tipos diferentes de sanduíches, $3$ tipos de bebida e $2$ tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?

 

$4 \cdot 3 \cdot 2 = \fbox{$24$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \sin^2\left(\dfrac{x}{4}\right) \cos\left(\dfrac{x}{4}\right)\ dx$.

Seja $u = \sin\left(\dfrac{x}{4}\right)$, $du\ =\ \dfrac{\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)}{4}\ dx$.

 

$I\ =\ 4\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}/2} u^2\ du\ = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \sin^2 \left(1 + \dfrac{\theta}{2}\right)\ d\theta$.

$I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \cos^2 \left(\dfrac{\pi}{2} - 1 - \dfrac{\theta}{2}\right)\ d\theta\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\cos (\pi - 2 - \theta) + 1}{2}\ d\theta$

 

Seja $u = \pi - 2 - \theta$, $du = -d\theta$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int_{-2}^{\pi - 2} \dfrac{1 + \cos u}{2}\ du\ =\ \left.\dfrac{u}{2}\right|_{-2}^{\pi - 2} + \left.\dfrac{\sin(u)}{2}\right|_{-2}^{\pi - 2} =$

 

$= \dfrac{\pi - 2}{2} + 1 + \dfrac{\sin(\pi - 2)}{2} + \dfrac{\sin 2}{2} = \fbox{$\dfrac{\pi}{2} + \sin 2$}$

Exercício: pódio em um campeonato de xadrez.

Em uma competição de xadrez existem $8$ jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?

 

$8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$336$ formas}$

Calculadora: gráfico de radar.

Entre com, separados por barra vertical "|" dois argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo: uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | 128; 255; 128".

Log:

Calculadora: gráfico de barras.

Entre com, separados por barra vertical "|" três argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo "v" para gráfico de barras verticais, ou "h" para gráfico de barras horizontais; o terceiro: uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | v | 128; 255; 128".

Log:

Calculadora: gráfico de pizza.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ",".

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5".

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_4^9 2x\sqrt{x}\ dx$.

$I = \left.\dfrac{4}{5}\sqrt{x^5}\right|_4^9 = \dfrac{972}{5} - \dfrac{128}{5} = \fbox{$\dfrac{844}{5}$}$

Exercício: escalando um time de vôlei.

Um técnico de um time de voleibol possui à sua disposição $15$ jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de $6$ jogadores?

 

$A_{15, 6} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = \fbox{$3603600$ maneiras}$

Cada um com sua posição designada.

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{3x + 1}}$.

Seja $u = 3x + 1$, $du = 3dx$.

 

$I = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^4 \dfrac{du}{\sqrt{u}} = \dfrac{1}{3} \cdot \left.2\sqrt{u}\right|_1^4 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(x + \dfrac{2}{\sin^2 x}\right)\ dx$.

$I = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_{\pi/6}^{\pi/2} - 2\left.\cot x\right|_{\pi/6}^{\pi/2} = \fbox{$\dfrac{\pi^2}{9} + 2\sqrt{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}}\ dy$.

Seja $4 - 3y = x$, $y = \dfrac{4 - x}{3}$ e $dx = -3dy$.

 

$I\ =\ -\dfrac{1}{27}\displaystyle\int_4^1 \dfrac{16 - 8x + x^2}{\sqrt{x}}\ dx\ =\ -\dfrac{1}{27}\left.\left(32\sqrt{x} - \dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} + \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}\right)\right|_4^1 =$

 

$=\ -\dfrac{32 - 64 - \dfrac{16}{3} + \dfrac{128}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{64}{5}}{27} = \fbox{$\dfrac{106}{405}$}$

Quantas senhas com $4$ algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ e $9$?

$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$3024$}$