Calculadora: superfície de revolução gerada por uma curva por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $x$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $y$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: um número real como valor inferior; quarto: um número real como valor superior; quinto: "x" para rotacionar com relação ao eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar quanto ao eixo $Oy$; sexto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: superfície de revolução gerada por gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser funções em $x$; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: "x" para rotacionar em torno do eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar em torno do eixo $Oy$; quinto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int e^{-x} + 4^x\ dx$.

$I = -e^{-x} +\ \displaystyle\int e^{x\log 4}\ dx\ + c = \fbox{$-e^{-x} + \dfrac{e^{x\log 4}}{\log 4} + c$}$

Exercício: passagens vendidas em progressão aritmética.

Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas $33\ 000$ passagens; em fevereiro, $34\ 500$; em março, $36\ 000$. Esse padrão de crescimento manteve-se para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

$a_7 = 33000 + 6 \cdot 1500 = \fbox{$42\ 000$ passagens}$

Resolver a equação diferencial $\dfrac{dy}{dt} = \sec^2 t - \sin t$ e $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.

$y = \tan t + \cos t + c$

$y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\ \Rightarrow\ c = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$y = \tan t + \cos t - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}$

Exercício: total faturado com faturas em PA.

Uma empresa faturou R\$ $150\ 000$ no primeiro ano, R\$ $148\ 000$ no segundo ano, R\$ $146\ 000$ no terceiro ano, e assim sucessivamente. Durante a primeira década de existência dessa empresa, quanto ela faturou no total?

$a_{10} = 150000 + 9 \cdot (-2000) = 132000$

$S_{10} = \dfrac{(150000 + 132000) \cdot 10}{2} = \fbox{R\$ $1\ 410\ 000$}$

Exercício: quantidade de Olimpíadas em um intervalo de tempo.

No ano de $2020$, infelizmente, as Olimpíadas foram adiadas devido à pandemia de COVID-19. Sabendo que as Olimpíadas ocorrem de $4$ em $4$ anos e supondo que, em $2021$, tenhamos esse evento, e que, até $2100$, ele não passe por um novo adiamento, qual será a quantidade de Olimpíadas que terão acontecido nesse intervalo?

$2097 = 2021 + (n - 1) \cdot 4\ \Rightarrow\ \fbox{$n = 20$}$

Exercício: preparação para uma maratona em progressão aritmética.

Um atleta de alta performance tem se preparado para a disputa da Maratona do Rio, que possui atualmente um percurso de $42$ km. Para isso, ele começou percorrendo $14$ km no primeiro dia, e, a cada dia, ele acrescentou $5$ km em relação ao dia anterior. A distância total percorrida por esse atleta durante uma semana de treino é de:

$a_{7} = 14 + 6 \cdot 5 = 44$ km

$S_{7} = \dfrac{(14 + 44)7}{2} = \fbox{$203$ km}$

Calcular $f(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{\sin x} 3t^2\ dt$.

$f(x) = \dfrac{d}{dx} \left.t^3\right|_1^{\sin x} = \dfrac{d}{dx} (\sin^3 x - \sin 1) = \fbox{$3(\sin^2 x)(\cos x)$}$

Calculadora: linha poligonal tridimensional.

Entre com uma string contendo, separadas por dois pontos ":", as linhas poligonais, cada linha poligonal consistindo de pontos separados por ponto e vírgula ";", abscissas, ordenadas e cotas separadas por vírgula ",".


Carregar arquivo de um pré-moldado 3D (extensão padrão: ".mrpm3"):

Repositório oficial de pré-moldados:

"https://sites.google.com/site/mathematicalramblings/pré-moldados-digitais".

Log:

Calculadora: linha poligonal.

Entre com uma string contendo, separadas por dois pontos ":", as linhas poligonais, cada linha poligonal consistindo de pontos separados por ponto e vírgula ";", abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".



Carregar arquivo de um pré-moldado 2D (extensão padrão: ".mrpm2"):

Repositório oficial de pré-moldados:

"https://sites.google.com/site/mathematicalramblings/pré-moldados-digitais".

Log:

Exercício: times de futsal à disposição de um treinador.

Um time de futsal é constituído de $5$ jogadores, sendo $1$ goleiro, $2$ de defesa, e $2$ de ataque. Se um treinador dispõe de $2$ goleiros, $4$ defensores e $5$ atacantes, de quantas formas distintas pode formar um time?

$2 \cdot \displaystyle{4 \choose 2} \cdot \displaystyle{5 \choose 2} = 2 \cdot 6 \cdot 10 = \fbox{$120$ times distintos}$

Determine a curva $y = f(x)$ no plano $xy$ que passa pelo ponto $(9, 4)$ e cujo coeficiente angular em cada ponto é $3\sqrt{x}$.

$\dfrac{d}{dx}f(x) = 3\sqrt{x}\ \Rightarrow\ f(x) = 2\sqrt{x^3} + c$

$f(9) = 4\ \Rightarrow\ c = -50\ \Rightarrow\ \fbox{$f(x) = 2\sqrt{x^3} - 50$}$

Calculadora: máximo divisor comum (mdc) passo a passo.

Entre com, separados por vírgula ",", inteiros positivos ao menos um maior que $1$.

Exemplo: entre com "144, 90, 198".




Máximo divisor comum (mdc) passo a passo:

Calculadora: mínimo múltiplo comum (mmc) passo a passo.

Entre com, separados por vírgula ",", inteiros positivos ao menos um maior que $1$.

Exemplo: entre com "3, 2, 12".




Mínimo múltiplo comum (mmc) passo a passo:

Exercício: número de seguidores em PA.

Cris decidiu ser uma influenciadora digital, e, para isso, ela criou uma conta nas redes sociais. Realizando a divulgação para os seus amigos mais próximos, logo no primeiro dia, ela conseguiu o marco de $40$ seguidores. Após esse marco, no segundo dia, ela conseguiu mais $14$ seguidores, no terceiro dia também, e assim sucessivamente durante toda a primeira semana. Se esse comportamento for mantido, ou seja, se ela conseguir $14$ seguidores por dia, qual será a quantidade de seguidores ao final de $30$ dias?

$a_{30} = 40 + 29 \cdot 14 = \fbox{$446$ seguidores}$

Exercício: crescimento de uma planta em PA.

A altura de uma planta, em centímetros, ao decorrer dos dias, foi anotada e organizada conforme a tabela seguinte:

$\def\arraystretch{1.2}$${\small \begin{array}{|c c c c c c c c c c|}\hline \text{Tempo (dias)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline \text{Altura (cm)} & 3,0 & 5,5 & 8,0 & 10,5 & 13,0 & 15,5 & 18,0 & 20,5 & 23,0\\ \hline\end{array}}$

Se esse comportamento de crescimento for mantido, após quantos dias essa planta terá a altura de $65,5$ cm?

$65,5 = 3 + (n - 1) \cdot 2,5\ \Rightarrow \fbox{$n = 26$ dias}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x}{x^2 + 4}\ dx$.

Seja $x = 2\tan u$, $dx = 2\sec^2 u\ du$.

$I\ =\ \displaystyle\int \tan u\ du\ =\ \displaystyle\int \dfrac{\sin u}{\cos u} du$

Seja $v = \cos u$, $dv = -\sin u\ du$.

$I\ =\ -\displaystyle\int \dfrac{dv}{v} = -(\log |v|) + c = -(\log |\cos u|) + c = \fbox{$-\left(\log \cos \arctan \dfrac{x}{2}\right) + c$}$

Exercício: lucros em progressão aritmética.

Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R\$ $800\ 000$ no primeiro mês, e, a cada mês, houve um aumento de R\$ $15\ 000$ em relação ao mês anterior. Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, qual será o lucro mensal dessa empresa em dezembro?

$a_{12} = 800000 + 11 \cdot 15000 = \fbox{R\$ $965\ 000$}$

Determinar a primitiva de $f(x) = \dfrac{2}{3}\sec^2 \dfrac{x}{3}$.

Seja $u = \dfrac{x}{3}$, $du = \dfrac{dx}{3}$.

$\displaystyle\int \dfrac{2}{3}\sec^2 \dfrac{x}{3}\ dx\ =\ 2\displaystyle\int \sec^2 u\ du\ =\ 2\tan u + c = \fbox{$2\left(\tan \dfrac{x}{3}\right) + c$}$

Determinar a primitiva de $f(x) = -\pi \sin (\pi x)$.

Seja $u = \pi x$, $du = \pi dx$.

$\displaystyle\int -\pi \sin (\pi x)\ dx\ =\ -\displaystyle\int \sin u\ du\ =\ (\cos u) + c = \fbox{$\cos (\pi x) + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int (x + 1)(3x - 2)\ dx$.

$I = \displaystyle\int 3x^2 + x - 2\ dx = \fbox{$x^3 + \dfrac{x^2}{2} - 2x + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\ dx\ +\ \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x}}\ dx\ +\ \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}}$

$\fbox{$I = \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5} + \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + 2\sqrt{x} + c$}$

Exercício: soma mais provável.

Os números naturais de $1$ a $10$ foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual o valor mais provável da soma dos números sorteados?

$2$: $(1, 1)$

$3$: $(1, 2)$, $(2, 1)$

$4$: $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

$5$: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$

$6$: $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$

$7$: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$

$8$: $(1, 7)$, $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$, $(7, 1)$

$9$: $(1, 8)$, $(2, 7)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 3)$, $(7, 2)$, $(8, 1)$

$10$: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(6, 4)$, $(7, 3)$, $(8, 2)$, $(9, 1)$

$11$: $(1, 10)$, $(2, 9)$, $(3, 8)$, $(4, 7)$, $(5, 6)$, $(6, 5)$, $(7, 4)$, $(8, 3)$, $(9, 2)$, $(10, 1)$

$12$: $(2, 10)$, $(3, 9)$, $(4, 8)$, $(5, 7)$, $(6, 6)$, $(7, 5)$, $(8, 4)$, $(9, 3)$, $(10, 2)$

$13$: $(3, 10)$, $(4, 9)$, $(5, 8)$, $(6, 7)$, $(7, 6)$, $(8, 5)$, $(9, 4)$, $(10, 3)$

$14$: $(4, 10)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(7, 7)$, $(8, 6)$, $(9, 5)$, $(10, 4)$

$15$: $(5, 10)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(8, 7)$, $(9, 6)$, $(10, 5)$

$16$: $(6, 10)$, $(7, 9)$, $(8, 8)$, $(9, 7)$, $(10, 63)$

$17$: $(7, 10)$, $(8, 9)$, $(9, 8)$, $(10, 7)$

$18$: $(8, 10)$, $(9, 9)$, $(10, 8)$

$19$: $(9, 10)$, $(10, 9)$

$20$: $(10, 10)$

Logo a soma mais provável é $11$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{t\sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^2}\ dt$.

$I = \displaystyle\int \dfrac{dt}{\sqrt{t}} + \displaystyle\int \dfrac{dt}{\sqrt{t^3}} = 2\sqrt{t} - \dfrac{2}{\sqrt{t}} + c = \fbox{$\dfrac{2t - 2}{\sqrt{t}} + c$}$

Os bilhetes de uma rifa são numerados de $1$ a $100$. Qual a probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que $40$ ou número par?

Seja $A$ o evento procurado, $n(A) = 60 + 20 = 80$.

Logo $P(A) = \dfrac{80}{100} = \fbox{$80 \%$}$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \theta \sqrt[4]{1 - \theta^2}\ d\theta$.

Seja $u = 1 - \theta^2$, $du = -2\theta d\theta$.

$I\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt[4]{u}\ du\ =\ -\dfrac{2}{5}\sqrt[4]{u^5} + c = \fbox{$-\dfrac{2\sqrt[4]{(1 - \theta^2)^5}}{5} + c$}$

Exercício: determinando um lado e um ângulo de um triângulo.

Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado $AC$ e o ângulo formado no vértice $A$.

$b^2 = 100 + 64 - 160\cos 50^\text{o}\ \Rightarrow\ b = 2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}} \approx\ \fbox{$7,8$}$

$\dfrac{\sin 50^\text{o}}{2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} = \dfrac{\sin \hat{A}}{8}\ \Rightarrow\ \hat{A} = \arcsin \dfrac{4\sin 50^\text{o}}{\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} \approx\ \fbox{$51,6^\text{o}$}$