$\theta = 2\pi \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{\pi}{6} \cdot \left(2 + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{4\pi}{9} = \dfrac{8\pi}{9}\ \text{rad}\ = \fbox{$160^\text{o}$}$
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domingo, 27 de fevereiro de 2022
Exercício: altura de um degrau.
João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.
$8h = 2\sin \dfrac{\pi}{6} = 1\ \therefore\ h = 0,125 \text{m} = \fbox{$12,5 \text{cm}$}$
Encontrar a derivada de $f(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}$.
$f'(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)} \cdot \dfrac{\cancel{x} + 1 - \cancel{x} + 1}{(x + 1)^2} = \fbox{$\dfrac{2e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}}{(x^2 + 2x + 1)}$}$
$10$ pessoas são escolhidas para formar dois times de futsal. Qual o número de maneiras diferentes que podemos formar os dois times.
$\displaystyle{10 \choose 5} = 252$
Como cada par foi contado duas vezes, teremos $\dfrac{252}{2} = \fbox{$126$}$ pares de times distintos.
Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo.
$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$
$A = \{2, 3, 5\}$
$P(A) = \dfrac{\cancelto{1}{3}}{\bcancelto{4}{12}} = \fbox{$25 \%$}$
No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?
Os resultados do evento são $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ e $(5, 1)$. Logo, chamando tal evento de $A$, $n(A) = 5$.
Logo $\fbox{$P(A) = \dfrac{5}{36}$}$.
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Imaginemos todos os conjuntos em que cada elemento é uma ordem em que o $5$ surgirá. Serão em número de $\displaystyle{7 \choose 3} = 35$.
O número de elementos do evento do qual desejamos saber a probabilidade será $5^4 \cdot 35$.
Logo a probabilidade procurada será $P = \dfrac{5^4 \cdot 35}{6^7} \approx \fbox{$7,8 \%$}$.
Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
Calculemos o número de elementos do evento $A$: permutações de $5$ elementos em que um se repete $2$ vezes e o outro $3$ vezes.
$n(A) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$
Logo a probabilidade do evento $A$ é $P(A) = \dfrac{10}{2^5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = \fbox{$31,25 \%$}$.
Encontrar as 3 primeiras derivadas de $y = \sqrt{5x}$.
$y' = \dfrac{5}{2\sqrt{5x}}$
$y'' = \dfrac{-25}{4\sqrt{(5x)^3}}$
$y''' = \dfrac{375}{8\sqrt{(5x)^5}}$
sábado, 26 de fevereiro de 2022
Obter a derivada de $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}$.
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}} \cdot \dfrac{\cancel{3x} - 2 - \cancel{3x} - 3}{9x^2 - 12x + 4} = \fbox{$\dfrac{-5}{(18x^2 - 24x + 8)} \cdot \sqrt{\dfrac{3x - 2}{x + 1}}$}$
sexta-feira, 25 de fevereiro de 2022
Let $f(x) = g(x^2 + 1)$, where $g’(2) = 3$ and $g”(2) = 5$. Compute $f”(1)$.
$f'(x) = g'(x^2 + 1) \cdot 2x$
$f''(x) = g''(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot 2x + g'(x^2 + 1) \cdot 2$
$f''(1) = g''(2) \cdot 2 \cdot 2 + g'(2) \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = \fbox{$26$}$
Calcular $f'(x) = \left(\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}\right)'$.
$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$
Calculadora: coordenadas da intersecção das diagonais de um quadrilátero convexo.
Exemplo:
Input: "0, 0; 0, 1; 1, 1; 1, 0".
Output: "(0.5, 0.5)".
Intersecção das diagonais:
Calcular $\left(\sqrt{x}\sin x\right)'$.
$\left(\sqrt{x}\sin x\right)' = (\cos x)\sqrt{x} + \dfrac{(\sin x)}{2\sqrt{x}} = \fbox{$\dfrac{2x\cos x + \sin x}{2\sqrt{x}}$}$
Calculadora: divisão de inteiros não negativos passo a passo.
Exemplo:
Entre com "55, 3".
Divisão passo a passo:
quinta-feira, 24 de fevereiro de 2022
Calculadora: equação cartesiana da circunferência inscrita em um triângulo.
Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".
Equação cartesiana da circunferência inscrita:
Calculadora: coordenadas do circuncentro de um triângulo.
Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".
Circuncentro:
Calculadora: equação cartesiana da circunferência circunscrita a um triângulo.
Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".
Equação cartesiana da circunferência circunscrita:
A equação aparecerá aqui... |
Calcular $\displaystyle\int x(\sin x)\ dx$.
$\displaystyle\int x(\sin x)\ dx\ =\ -x(\cos x) + \displaystyle\int \cos x\ dx\ =\ \fbox{$-x(\cos x) + \sin x + c$}$
quarta-feira, 23 de fevereiro de 2022
Calculadora: divisão de polinômios passo a passo.
Exemplo:
Entre com "2xx - 3x + 5, x - 1".
Divisão de polinômios passo a passo:
Calculadora: coordenadas do incentro de um triângulo.
Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".
Incentro:
Calculadora: coordenadas do baricentro de um triângulo.
Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".
Baricentro:
terça-feira, 22 de fevereiro de 2022
Calculadora: reta de Euler.
Reta de Euler:
Calculadora: coordenadas do ortocentro de um triângulo.
Ortocentro:
Calculadora: função quadrática dados 3 pontos.
Função quadrática:
segunda-feira, 21 de fevereiro de 2022
Calculadora: equação cartesiana de uma circunferência dados 3 pontos.
Equação cartesiana da circunferência:
Software: simulação de uma partícula em um recipiente.
Exemplo: entre com "5; 30; 3; 2; 1; 9".
Simulação: