Calculadora: gráfico tridimensional de uma função de duas variáveis.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser funções em "$x$" e "$y$"; segundo: um número real como valor inferior para "$x$"; terceiro: um número real como valor superior para "$x$"; quarto: um número real como valor inferior para "$y$"; quinto: um número real como valor superior para "$y$"; sexto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser funções em $x$; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a abscissa do centro de expansão radial; quinto: a ordenada do centro de expansão radial; sexto: o raio de expansão radial; sétimo: a rotação do eixo $Ox$; oitavo: a rotação do eixo $Oy$; nono: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: código Morse.

Entre com o código a ser traduzido e, após uma barra inversa "\", "m" para traduzir para código Morse, ou "t" para traduzir do código Morse.

Exemplos:

Input: "OLA MUNDO. \ m". Output: "--- .-.. .-  -- ..- -. -.. --- .-.-.-".

Input: "-... . .-.. .-  -- .- - . -- .- - .. -.-. .- .-.-.- \ t". Output: "BELA MATEMATICA.".

Tradução:

Seja $u = (u_i)_1^n$ um vetor do $\mathbb{C}^n$, mostre que $||u|| \ge 0$ e que $||u|| = 0\ \Leftrightarrow\ u = O$.

$||u|| = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\overline{u_i}}$

Como $u_i\overline{u_i} \ge 0$ segue que $||u|| \ge 0$.

Como $u_i\overline{u_i} = 0\ \Leftrightarrow\ u_i = 0$, segue que $||u|| = 0\ \Leftrightarrow\ u = O$.

Quod Erat Demonstrandum.

Sejam $u$, $v$ e $w$ vetores do $\mathbb{C}^n$, mostrar que $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$.

Sejam $u_i$, $v_i$ e $w_i$ as $i$-ésimas coordenadas de $u$, $v$ e $w$ respectivamente.

A $i$-ésima parcela de $u \cdot (v + w)$ será $u_i \cdot \overline{(v_i + w_i)} = u_i\overline{v_i} + u_i\overline{w_i}$. Logo:

$u \cdot (v + w) = \displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i\overline{v_i} + u_i\overline{w_i}) = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\overline{w_i} = u \cdot v + u \cdot w$.

Quod Erat Demonstrandum.

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4 + 1}$.

$\dfrac{1}{x^4 + 1} = \dfrac{1}{(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)} =$

$= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{-\sqrt{2}x + 2}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{2}x + 2}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4 + 1} = \dfrac{-1}{2} \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2}x - 2}{(\sqrt{2}x - 1)^2 + 1}\ dx\ + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2}x + 2}{(\sqrt{2}x + 1)^2 + 1}\ dx\ =$

 

$= \dfrac{-\sqrt{2}}{4} \displaystyle\int \dfrac{u - 1}{u^2 + 1}\ du + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \displaystyle\int \dfrac{v + 1}{v^2 + 1}\ dv =$

$= \scriptsize{\fbox{$\dfrac{-\sqrt{2}}{8} \log [(\sqrt{2}x - 1)^2 + 1] + \dfrac{\sqrt{2}}{8} \log [(\sqrt{2}x + 1)^2 + 1] + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \arctan (\sqrt{2}x - 1) + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \arctan (\sqrt{2}x + 1) + c$}}$

Seja $v \in \mathbb{R}^n$ e $u$ tal que $u \cdot v = 0$, $\forall\ v \in \mathbb{R}^n$. $u = O$.

Seja $v = (v_i)_1^n$ e $u = (u_i)_1^n$. Tomemos $v$ com coordenadas positivas, $\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i v_i = 0\ \Leftrightarrow\ u = O$.

Observemos que $u = O$ também satisfaz $u \cdot v = 0$ para $v$ com quaisquer coordenadas.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: próximo termo de uma sequência.

Entre com uma string separada por barra vertical "|" contendo, primeiro, um conjunto de números reais separados por ponto e vírgula ";", e, segundo, o inteiro positivo inteligência.

Exemplo:

Input: "2; 4; 6 | 1". Output: aproximadamente "8".

(pode travar o sistema)

Próximo termo cogitado: