Mathematical Ramblings

Lema: se $\{v_1, ..., v_m\}$ é uma base de $V$, $\{w_1, ..., w_n\}$, com $n > m$ é linearmente dependente.

Se $\{w_1, ..., w_m\}$ é linearmente dependente, o lema já está demonstrado. Caso não, seja

$w_i = a_1 v_1 + ... + a_i v_i + ... + a_m v_m,\ i \le m\ \Rightarrow\ v_i = a_i^{-1} w_i - \displaystyle\sum_{j \neq i} a_i^{-1} a_j v_j,\ i,j \le m,\ a_i \neq 0$.

Donde concluímos que $\{w_i, (v_j)_{j \neq i}\},\ i,j \le m$ gera $V$.

Seja agora $r,\ 1 \le r < m$,

$w_j = \displaystyle\sum_{i=1}^r b_i w_i + \displaystyle\sum_{i=r+1}^m a_i v_i,\ j > r\ \Rightarrow\ v_j = -\displaystyle\sum_{i=1}^r a_j^{-1} b_i w_i - \displaystyle\sum_{i=r+1,i \neq j}^m a_j^{-1} a_i v_i + a_j^{-1}w_j,\ j > r,\ a_j \neq 0$.

Donde concluímos que $w_1, ..., w_m$ gera $V$.

Concluímos também que

$w_j = \displaystyle\sum_{i=1}^m d_i w_i,\ \forall j > m$.

Donde concluímos que $\{w_1, ..., w_n\}$ é linearmente dependente.

Teorema: todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita tem o mesmo número de elementos.

De acordo com o lema anterior, não podemos ter $n > m$ e nem $m > n$, logo $m = n$.