Exercício: tempo de queda livre.

Um corpo cai em queda livre, percorrendo a primeira metade de sua trajetória em $1\ s$. A trajetória inteira será percorrida em quantos segundos?

Resolução:


Da função horária $S(t) = S_0 +  v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{a}{2}$

$S = a = \dfrac{2a}{2} = \dfrac{a(\sqrt{2})^2}{2}$

Portanto percorrerá toda a trajetória em $\sqrt{2}\ s$.

Exercício: resolvendo uma equação no sistema de numeração de base $2$.

Resolva a equação $10x - 11 = 101$ no sistema de numeração de base $2$.

Resolução:

$10x = 11 + 101$

$10x = 1000$

$x = 100$

Exercício: determinar parâmetro para que uma função tenha inversa.

Determine $k$ para que $f = \{(a, 2k - 1), (c, k)\}$ tenha inversa.

$f$ deve ser injetiva.

$2k - 1 \neq k\ \therefore\ k \neq 1$

$k$ pode assumir qualquer valor, menos o $1$.

Exercício: velocidade de lançamento e uma determinada altura.

Em uma experiência de laboratório, verificou-se que a velocidade de lançamento de um corpo para que este atingisse uma certa altura é $v$, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo a velocidade $2v$. Qual será a velocidade do corpo ao atingir a altura do primeiro ensaio?

Resolução:



Por Torricelli:

$0 = v^2 + 2a\Delta S$

$3v^2 = 4v^2 + 2a\Delta S$

$(\sqrt{3}v)^2 = (2v)^2 + 2a\Delta S$

Portanto a velocidade será $v\sqrt{3}$.

Exercício: determinar equação de uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x-1)^2 + y^2 = 4$, qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

$\overleftrightarrow{AB}$ será perpendicular à reta determinada por $(2, 1)$ e pelo centro da circunferência $(1, 0)$.

$-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1-0}{2-1} \Rightarrow m = -1$

$\overleftrightarrow{AB}: y-1 = -(x-2)$

$\overleftrightarrow{AB}: x + y - 3 = 0$

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

Exercício: determinar parâmetro em circunferência.

Para que valor real de $k$ a equação $(x-1)^2 + (y-2)^2 = k-1$ representa uma circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano?

Resolução:

$(0, 0)$ satisfaz.

$(0-1)^2 + (0-2)^2 = k-1 \Rightarrow k = 6$

Exercício: defasagem entre os ponteiros de um relógio.

Um relógio de ponteiros ficou parado por 2h45m. Em relação ao ponteiro que indica as horas, de quantos graus é a diferença entre sua posição no momento em que o relógio parou e no horário correto?

Resolução:

A cada hora, o ponteiro das horas deslocar-se-á $30$ graus, logo, no total, deslocar-se-á $30 \cdot (2 + \dfrac{3}{4}) = 82,5$ graus, ou $82$ graus é $30$ minutos de grau.

Exercício: diâmetro de um pneu dada sua rotação e a velocidade do veículo.

O pneu de um automóvel a $105,5 km/h$ gira a uma velocidade de $700$ rotações por minuto. Qual é o diâmetro desse pneu?

Resolução:

O pneu percorrerá $\dfrac{105,5}{60} \cdot 1000 \approx 1758$ metros em um minuto.

$1758 = 700 \cdot \pi \cdot d$

$d \approx 0,8$

$d \approx 80 cm$

Exercício: imagem de uma função trigonométrica.

Qual o conjunto imagem da função $f(x) = 2^{2\cos x}$?

Resolução:

$Im_f = [2^{2 \cdot (-1)}, 2^{2 \cdot 1}] = [\dfrac{1}{4}, 4]$

Exercício: uma aplicação do princípio fundamental da contagem.

Num salão há $16$ portas. Calcule o número de formas distintas de se entrar no salão e dele sair por uma porta diferente.

Resolução:

$16 \cdot 15 = 240$

Exercício: perímetro de um triângulo por razão de semelhança no plano cartesiano.

Os pontos $M(2, 3)$, $N(-1, -1)$ e $P(11, 4)$ são pontos médios dos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, de um triângulo $ABC$. Calcule o perímetro do triângulo $ABC$.

Resolução:

A razão de semelhança entre os triângulos $MNP$ e $ABC$ é $\dfrac{1}{2}$, logo basta calcular o perímetro de $MNP$ e multiplicar por $2$.

$P = 2(\sqrt{(2+1)^2 + (3+1)^2} + \sqrt{(2-11)^2 + (3-4)^2} +$

$+ \sqrt{(-1-11)^2 + (-1-4)^2}) = 36 + 2\sqrt{82}$

Exercício: coordenadas do baricentro de um triângulo.

O segmento $\overline{AM}$, com $A(2, 7)$ e $M(11, 1)$, é mediana de um triângulo $ABC$. Determine o baricentro $G$ desse triângulo.

Resolução:


O baricentro pertence à mediana e dista $\dfrac{2}{3}$ do comprimento desta a partir do vértice $A$.

$G[2 + (11 - 2) \cdot \dfrac{2}{3}, 7 + (1 - 7) \cdot \dfrac{2}{3}] \Rightarrow G(8, 3)$

Exercício: inversa de uma função.

Seja $f = \{(a, b), (c, d)\}$. Encontre $f^{-1}$.

Resolução:

$f^{-1} = \{(b, a), (d, c)\}$

Exercício: coordenadas de um vértice de um triângulo.

Os pontos $A(2, 2)$, $B(x, 1)$ e $C(-1, 3)$ são vértices de um triângulo retângulo em $B$. Determine $x$.

Resolução:


$d_{AC}^2 = d_{AB}^2 + d_{BC}^2$

$(\sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - 2)^2})^2 = (\sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 2)^2})^2 +$

$+ (\sqrt{(-1 - x)^2 + (3 - 1)^2})^2$

$ 10 = (x - 2)^2 + 1 + (x + 1)^2 + 4$

$10 = x^2 - 4x + 4 + 1 + x^2 + 2x + 1 + 4 \Rightarrow 2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow x = 0 \vee x = 1$

Exercício: imagem da função seno.

Sabendo que $\alpha$ é um arco do primeiro quadrante, quais são os valores de $m$ que satisfazem a igualdade $\sin \alpha = 3 - 12m$?

Resolução:

$0 < 3 - 12m < 1$

$-3 < -12m < 1 - 3$

$-3 < -12m < -2$

$2 < 12m < 3$

$\dfrac{2}{12} < m < \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{1}{6} < m < \dfrac{1}{4}$

Exercício: raízes de um número complexo.

Em $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, calcule $\sqrt[4]{16}$.

Resolução:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{16}[\cos (\dfrac{2k\pi}{4}) + \sin (\dfrac{2k\pi}{4})],\ k \in \mathbb{Z}$

$z = \sqrt[4]{16}$

$z = 2\ \vee\ z = 2i\ \vee\ z = -2\ \vee\ z = -2i$

Exercício: potência de $i$.

Simplifique $i^{288}$.

Resolução:

$i^{288} = i^{4\cdot 72} = 1$

Exercício: divisão de números complexos.

Sejam $z_1 = 1 + 2i$ e $z_2 = 1 - i$. Efetuar $z_1 : z_2$.

$\dfrac{1 + 2i}{1 - i} = \dfrac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{-1 + 3i}{2}$

$z_1 : z_2 = \dfrac{-1}{2} + \dfrac{3}{2}i$

Exercício: conjugado de um número complexo.

Determine o número complexo $z$ tal que $4\overline{z} - z = 6 - 9i$.

Resolução:

$z = a + bi,\ \{a,\ b\}\ \subset\ \mathbb{R}$

$4a - a = 6\ \wedge\ -4b - b = -9$

$z = 2 + \dfrac{9i}{5}$

Exercício: resolver equação polinomial pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolva a equação $x^3 + 3x + 1 = 0$ pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolução:

$uv = 1$

$(u - v)^3 + 3(u - v) + 1 = 0$

$u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 + 3u - 3v + 1 = 0$

 $u^3 - 3u^2 \cdot \dfrac{1}{u} + 3u \cdot \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - 3u + \dfrac{3}{u} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - \dfrac{1}{u^3} + 1 = 0$

$u^6 + u^3 - 1= 0$

Tomando $U = u^3$:

$U^2 + U - 1 = 0$

$U = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$U' = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$U'' = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u'' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v'' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$x' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 + \sqrt{5}}}$

$x'' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 - \sqrt{5}}}$

Exercício: cologaritmo.

Calcule $colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81})$.

Resolução:

$colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -\log_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -2\log_3(\dfrac{1}{81}) =$

$= 2\log_3(81) = 2 \cdot 4 = 8$

Exercício: superposição dos ponteiros de um relógio.

Num relógio comum, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas às $3$ horas, $16$ minutos e $x$ segundos. Qual é o valor aproximado de $x$?

Resolução:

$t \cdot \dfrac{\pi}{21600} = t \cdot \dfrac{\pi}{1800} - 2k\pi,\ k = 3$

$x = t - 3600 \cdot 3 - 960$

$x \approx 22$

Exercício: comprimento de uma circunferência.

Calcule o comprimento da circunferência de diâmetro $AB$, sendo $A(2, 1)$ e $B(10, 7)$.

Resolução:

$d_{AB} = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = 10$

Logo o comprimento é $10\pi$.

Exercício: equação trigonométrica.

Resolva a equação $(\sin x)(\cos x) = \dfrac{1}{2}$ em $\mathbb{U} = \mathbb{R}$.

Resolução:

$\dfrac{\sin 2x}{2} = \dfrac{1}{2}\ \therefore\ 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

$S = \{x \in \mathbb{R}\ |\ x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$

Exercício: período de uma roda girando.

Qual o período de uma roda que gira a $600\ rpm$?

Resolução:

$600\ rpm\ =\ 10\ Hz$

$T = \dfrac{1}{10} = 0,1\ s$

Exercício: potência de um número complexo.

Sendo $z = 3(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4})$, calcule $z^4$.

Resolução:

$z^4 = 3^4(\cos \dfrac{4\pi}{4} + i\sin \dfrac{4\pi}{4}) = -81$

Exercício: ângulos internos de um paralelogramo.

A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é $28^o$. Determine os dois ângulos.

Resolução:

Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo, ou são congruentes, ou suplementares; como são diferentes, chamando o maior deles de $\theta$, $\theta + \theta - 28 = 180\ \therefore\ \theta = 104\ \wedge\ \theta - 28 = 76$.

Exercício: ângulo externo e ângulo central de um polígono.

Calcule a medida de um ângulo externo e de um ângulo central de um polígono regular de $n$ lados.

Resolução:

Chamando de $c$ um ângulo central, $c = \dfrac{360^o}{n}$.

Chamando de $i$ um ângulo interno, $i = \dfrac{(n - 2)\cdot 180^o}{n}$.

Chamando de $e$ um ângulo externo, $e = 180 - i = \dfrac{360}{n}$.

Demonstração: $n^2 - 3n$ é par.

Sendo $n$ inteiro, demonstre que $n^2 - 3n$ é par.

Resolução:

$n^2 - 3n = n(n - 3)$

Se $n$ é ímpar, $n - 3$ é par. Se $n - 3$ é ímpar, $n$ é par. $n(n - 3)$ o produto de um ímpar e um par é par.

Exercício: ângulos internos de um polígono.

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem $140^o$ cada um e os demais ângulos internos medem $128^o$ cada um. Qual o número de lados do polígono?

Resolução:

O resto da divisão de $280 + 128(n - 2)$ por $180$ deve ser nulo para um $n$ mínimo, o que ocorre para $n = 7$.

Exercício: número de diagonais de polígonos.

Um polígono de $2n$ lados tem $18$ diagonais a mais que um polígono de $n$ lados. Quais os números de diagonais desses polígonos?

Resolução:

$4n^2 - 6n - n^2 + 3n - 36 = 0\ \Rightarrow\ n^2 - n - 12 = 0\ \therefore\ n = 4$

As diagonais são em número de $20$ e $2$.