Exercício: equação exponencial #2.

(MACK-SP) A solução real da equação $4^x + 6^x\ =\ 2\ \cdot\ 9^x$ está no intervalo:

a) $-1\ \le\ x\ \le\ 1$.

b) $2\ \le\ x\ \le\ 3$.

c) $3\ \le\ x\ \le\ 4$.

d) $-4\ \le\ x\ \le\ -3$.

e) $20\ \le\ x\ \le 30$.

Resolução:

Façamos a transformação $p\ =\ 2^x$ e $q\ =\ 3^x$:

$p^2 + pq\ =\ 2q^2$

$p^2 + qp - 2q^2\ =\ 0$

Resolvendo a equação em $p$ :

$(p\ =\ -2q)\ \vee\ (p\ =\ q)$

Primeiro caso :

$2^x\ =\ -2\ \cdot\ 3^x$

$2^{x - 1}\ =\ 3^{-x}$

$\log_2 (3^{-x})\ =\ x - 1$

$(-x)\ \cdot\ log_2 3\ =\ x - 1$

$x [(\log_2 3) + 1]\ =\ 1$

$x\ =\ \dfrac{1}{(\log_2 3) + 1}$

Como $(\log_2 3) + 1\ >\ 1$ então $0\ <\ x\ <\ 1$
__

Segundo caso :

$2^x\ =\ 3^x$

Donde :

$x\ =\ 0$

Logo, a alternativa correta é a A.

Exercício: ponto crítico de uma função exponencial.

(Vunesp-SP) Dada a expressão $(\dfrac{1}{2})^{4x - x^2}$, então:

a) O maior valor da expressão é $4$..

b) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

c) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

d) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

e) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

Resolução:

A expressão assumirá um valor máximo ou mínimo de acordo com seu expoente.

$4x - x^2$ terá um máximo absoluto, este que será $-\dfrac{16}{-4}\ =\ 4$.

Assim, por $0\ <\ \dfrac{1}{2}\ <\ 1$, $(\dfrac{1}{2})^4\ =\ \dfrac{1}{16}$ será mínimo.

A alternativa correta é a E.

Exercício: áreas na função logaritmica.

(Vunesp-SP) A curva da figura representa o gráfico da função $y\ =\ \log_a x$ com $a\ >\ 1$. Dos pontos $B\ =\ (2\ ,\ 0)$ e $C\ =\ (4\ ,\ 0)$ saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em $D$ e $E$, respectivamente. Se a área do trapézio retangular $BCED$ vale $3$, provar que a área do triângulo $ABD$, onde $A\ =\ (1\ ,\ 0)$, vale $\dfrac{1}{2}$.



Resolução:

Primeiramente calculemos as ordenadas de $D$ e $E$:

$D\ =\ (2\ ,\ \log_a 2)$

$E\ =\ (4\ ,\ \log_a 4)$

Calculemos a área $S_1$ do trapézio:

$S_1\ =\ \dfrac{(\log_a 2 + \log_a 2^2)\ \cdot\ (4 - 2)}{2}\ =\ 3\log_a 2$

Como $S_1\ =\ 3$, temos:

$\log_a 2\ =\ 1\ \Rightarrow\ a\ =\ 2$

Então $D\ =\ (2\ ,\ 1)$

Logo a área $S_2$ do triângulo será :

$S_2\ =\ \dfrac{(2 - 1)\ \cdot\ 1}{2}\ =\ \dfrac{1}{2}$.

Exercício: equação mista.

(Fuvest-SP) A equação $2^x\ =\ -3x + 2$, com $x$ real:

a) Não tem solução.

b) Tem uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$.

c) Tem uma única solução entre $-\dfrac{2}{3}$ e $0$.

d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas soluções.

Resolução:

Como estamos lidando com funções mistas: uma exponencial e outra afim, vamos analisar cada uma individualmente.

$2^x$ será sempre positiva. Consequentemente devemos encontrar os valores de $x$ para os quais $-3x + 2$ seja positiva.

$x\ <\ \dfrac{2}{3}$

Observemos que se $x\ =\ 0$, $2^x\ =\ 1 $ e $ -3x + 2\ =\ 2$, e como a primeira é crescente e a segunda é decrescente para todo $x\ >\ 0$, elas se tocarão em um único ponto. E pela condição [1], concluímos que a equação dada terá uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$

A alternativa correta é a B.

Exercício: função exponencial.

(Vunesp-SP) Seja $p\ >\ 0$, $p\ \neq\ 1$, um número real. Dada a relação $\dfrac{p^{-y}}{1 + p^{-y}}\ =\ x$, determinar $y$ em função de $x$ e o domínio da função assim definida.

Resolução :

$\dfrac{1 + p^{-y}}{p^{-y}}\ =\ \dfrac{1}{x}$

$p^y + 1\ =\ \dfrac{1}{x}$

$y\ =\ \log_p \dfrac{1 - x}{x}$

Se $y$ é função real, $\dfrac{1 - x}{x}$ deve ser positivo.

$x\ >\ 0\ \wedge\ 1 - x\ >\ 0\ \Rightarrow\ 0\ <\ x\ <\ 1$

$x\ <\ 0\ \wedge\ 1 - x\ <\ 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x$

Logo $D_y\ =\ ]0\ ,\ 1[$.

Exercício: logaritmos #2.

(EFEI-MG) Se $\log_a x\ =\ P$, $\log_b x\ =\ Q$ e $\log_{abc} x\ =\ R$, determine $\log_c x$ em função de $P$, $Q$ e $R$.

Consideremos inicialmente $x\ \neq\ 1$, então:

$\log_x a\ =\ \dfrac{1}{P}$

$\log_x b\ =\ \dfrac{1}{Q} $

$\log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

E chamando $\log_c x\ =\ S$

$\log_x c\ =\ \dfrac{1}{S}$

Teremos:

$(\log_x a) + (\log_x b) + (\log_x c)\ =\ \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{Q} + \dfrac{1}{S}\ =\ \log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

Donde:

$\dfrac{1}{S}\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}\ \Rightarrow\ S\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}$
__

E para $x\ =\ 1$:

$\log_c x\ =\ 0$

Exercício: logaritmos.

(Vunesp-SP) Sejam $a$ e $b$ números reais maiores que zero e tais que $ab\ =\ 1$. Se $a\ \neq\ 1$ e $\log_a x\ =\ \log_b y$, determine o valor de $xy$.

Resolução:

Observemos que se $a\ \neq\ 1$ também teremos $b\ \neq\ 1$, o que garante a existência de $\log_b y$.

Se $ab\ =\ 1$ então $b\ =\ \dfrac{1}{a}$, assim:

$\log_a x\ =\ \log_\dfrac{1}{a} y$

$\log_a x\ =\ \log_a \dfrac{1}{y}$

Donde :

$x\ =\ \dfrac{1}{y}\ \Rightarrow\ xy\ =\ 1$