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sábado, 28 de janeiro de 2023
Calculadora: superfície de revolução gerada por curva por coordenadas paramétrico-polares.
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Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^6 + 5x^3} - x^3\right)$.
$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\cancel{x^6} + 5x^3 - \cancel{x^6}}{\sqrt{x^6 + 5x^3} + x^3}\right) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{\dfrac{x^6 + 5x^3}{x^6}} + \dfrac{x^3}{x^3}}\right) =$
$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5}{\sqrt{1 + \cancelto{0}{\dfrac{5}{x^3}}} + 1}\right) = \fbox{$\dfrac{5}{2}$}$
sexta-feira, 27 de janeiro de 2023
Exercício: idade verdadeira dada uma omissão fracionária.
Carlos disse que tinha $28$ anos de idade, entretanto omitiu $\dfrac{1}{5}$ dela. Qual sua idade verdadeira?
Resolução:
Se omitiu $\dfrac{1}{5}$, $28$ corresponde a $\dfrac{4}{5}$ de sua idade verdadeira, logo sua idade verdadeira $I$ é tal que
$I = \dfrac{28}{4/5} = \fbox{$35$ anos.}$
Exercício: determinando uma variável para que uma sequência seja uma PG.
Determine os valores de $x$, em radianos, de modo que $\dfrac{\sin x}{2}$, $\sin x$ e $\tan x$ formem uma PG.
$\sin^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{2\cos x}\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ \cos x = \dfrac{1}{2}$
$\fbox{$x = k\pi\ \vee\ x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\ \vee\ x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$}$.
Exercício: soma de somas de termos de PGs.
Calcule o valor da soma:
$S = \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9^2} + \dfrac{1}{9^3} + \dots\right) + $
$+ \dots + \left(\dfrac{1}{2^n + 1} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^2} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^3} + \dots\right) + \dots$.
Resolução:
$S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots + \dfrac{1}{2^n} + \dots = \fbox{$1$}$.
quinta-feira, 26 de janeiro de 2023
Três lados de um triângulo retângulo estão em PG. Qual a razão?
Seja $a$ o menor lado e $q$ a razão:
$\cancel{a^2} q^4 = \cancel{a^2} q^2 + \cancel{a^2}\ \Rightarrow\ q^4 - q^2 - 1 = 0$.
Como $q$ deve ser real e positivo, $\fbox{$q = \sqrt{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}}$}$.
Calculadora: simétrica de uma curva tridimensional por coordenadas paramétrico-polares com relação a um plano.
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