Calculadora: somatório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do somatório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplos:

Input: "n; 1; 5".
Output: "15".

Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".

(pode travar o sistema)

Somatório:

Meme: quando o código funciona de primeira.

Meme: quando o código funciona de primeira.

Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Exemplos:

Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".

Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".

(pode travar o sistema)

Integral definida, aproximação por soma de Riemann:

Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Exemplos:

Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".

Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".

(pode travar o sistema)

Integral definida, aproximação por soma de Riemann:

Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.

$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$

$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$

Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.

$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$

$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$

Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.

$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$

$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$

Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.

$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$

$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$

Demonstração: $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$.

$\cosh (x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$

$= \dfrac{4}{4} = 1$

Demonstração: $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$.

$\cosh (x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$

$= \dfrac{4}{4} = 1$

Meme: vai lá, matricula-te em 7 cadeiras...

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Meme: conte-me mais sobre como terminou a faculdade honestamente...

Meme: conte-me mais sobre como terminou a faculdade honestamente...

Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software:

Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software:

Meme: gosta mais de mim ou da Matemática?

Meme: gosta mais de mim ou da Matemática?

Volume da esfera.

Para tal fim, vamos utilizar, do Cálculo, o método dos discos.

Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.

Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.

Seu volume será calculado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$

$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$

Volume da esfera.

Para tal fim, vamos utilizar, do Cálculo, o método dos discos.

Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.

Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.

Seu volume será calculado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$

$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$

Integral da secante.

Sendo $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$, podemos escrever:

$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$

Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.

Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.

Assim:

$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$

Integral da secante.

Sendo $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$, podemos escrever:

$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$

Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.

Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.

Assim:

$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$

Meme: de acordo com os meus cálculos, isto não vai dar certo...

Meme: de acordo com os meus cálculos, isto não vai dar certo...

Meme: gato calculando salto.

Meme: gato calculando salto.

Meme: doutor, ela me pediu um tempo e espaço; acho que quer calcular a velocidade.

Meme: doutor, ela me pediu um tempo e espaço; acho que quer calcular a velocidade.